Question

18．如圖，小明在山腳下的A處測得山頂N的仰角為45°，此時，他剛好與山底D在同一水平線上．然后沿著坡度為30°的斜坡正對著山頂前行110米到達B處，測得山頂N的仰角為60°．求山的高度．（結果精確到1米，參考數據：$\sqrt{2}$≈1.414，$\sqrt{3}$≈1.732）．

Answer 1

分析 過點B作BF⊥DN于點F，過點B作BE⊥AD于點E，根據余弦的定義求出AE，根據正弦的定義求出BE，設BF=x米，根據正切的定義求出NF，結合圖形列出方程，解方程即可．

解答 解：過點B作BF⊥DN于點F，過點B作BE⊥AD于點E，
∵∠D=90°，
∴四邊形BEDF是矩形，
∴BE=DF，BF=DE，
在Rt△ABE中，AE=AB•cos30°=110×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=55$\sqrt{3}$（米），
BE=AB•sin30°=$\frac{1}{2}$×110=55（米），
設BF=x米，則AD=AE+ED=55$\sqrt{3}$+x（米），
在Rt△BFN中，NF=BF•tan60°=$\sqrt{3}$x（米），
∵∠NAD=45°，
∴AD=DN，
∴DN=DF+NF=55+$\sqrt{3}$x（米），
即55$\sqrt{3}$+x=$\sqrt{3}$x+55，
解得：x=55，
∴DN=55+$\sqrt{3}$x≈150（米），
答：山的高度約為150米．

點評 本題考查的是解直角三角形的應用-仰角俯角問題，掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數的定義是解題的關鍵．