Question

16．已知直線y₁=x-5與雙曲線y₂=-$\frac{6-{p}^{2}}{x}$．
（1）求證：無論p取何值時，兩個函數的圖象恒有兩個交點；
（2）設兩個交點分別為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），且滿足x₁²+x₂²=3x₁x₂，求實數p的值．

Answer 1

分析 （1）根據兩個函數解析式，得到方程x²-5x+6-p²=0，求根的判別式△，當△＞0時，方程總有兩個不相等的實數根；
（2）根據根與系的關系求出兩根和與兩根積，再把x₁²+x₂²=3x₁x₂變形，化成和與乘積的形式，代入計算，得到一個關于p的一元二次方程，解方程即可．

解答 解：（1）聯立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=x-5}\\{y=-\frac{6-{p}^{2}}{x}}\end{array}\right.$，可得x²-5x+6-p²=0，
∴△=（-5）²-4×1×（6-p²）=25-24+4p²=1+4p²，
∵無論p取何值時，總有4p²≥0，
∴△=1+4p²＞0，
∴無論p取何值時，方程總有兩個不相等的實數根；

（2）∵x₁+x₂=5，x₁x₂=6-p²，
又∵x₁²+x₂²=3x₁x₂，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=3x₁x₂，
∴5²=5（6-p²），
解得p=±1，
∴實數p的值為±1．

點評 本題屬于一次函數與反比例函數圖象的交點問題，主要考查了根的判別式和根與系數的關系的運用，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與△=b²-4ac有如下關系：①當△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數根；②當△=0時，方程有兩個相等的兩個實數根；③當△＜0時，方程無實數根．