Question

6．兩個反比例函數y=$\frac{k}{x}$和y=$\frac{1}{x}$在第一象限內，點P在y=$\frac{k}{x}$的圖象上，PC垂直于X軸于點C，交y=$\frac{1}{x}$的圖象于點A，PD垂直于Y軸于D，交y=$\frac{1}{x}$的圖象于點B，當點P在y=$\frac{k}{x}$的圖象上運動時，下列結論錯誤的是（　　）

• A． △ODB與△OCA的面積相等
• B． 當點A是PC的中點時，點B一定是PD的中點
• C． 只有當四邊形OCPB為正方形時，四邊形PAOB的面積最大
• D． $\frac{CA}{PA}$=$\frac{DB}{PB}$

Answer 1

分析 根據反比例函數的圖象和性質，特別是根據反比例函數k的幾何意義，對四個選項逐一進行分析，即可得出正確答案．

解答 解：A、由于點A和點D均在同一個反比例函數y=$\frac{1}{2}$的圖象上，所以S_△ODB=$\frac{1}{2}$，S_△OCA=$\frac{1}{2}$；故△ODB與△OCA的面積相等，故A正確；
B、連接OP，點A是PC的中點，
則△OAP和△OAC的面積相等，
∵△ODP的面積=△OCP的面積=$\frac{k}{2}$，△ODB與△OCA的面積相等，
∴△OBP與△OAP的面積相等，
∴△OBD和△OBP面積相等，
∴點B一定是PD的中點，故B正確；
C、由于矩形OCPD、三角形ODB、三角形OCA為定值，則四邊形PAOB的面積不會發生變化，故C錯誤；
D、設P（m，$\frac{k}{m}$），則A（m，$\frac{1}{m}$），B（$\frac{m}{k}$，$\frac{k}{m}$），則CA=$\frac{1}{m}$，PA=$\frac{k}{m}$-$\frac{1}{m}$，DB=$\frac{m}{k}$，PB=m-$\frac{m}{k}$，
故$\frac{CA}{PA}=\frac{\frac{1}{m}}{\frac{k}{m}-\frac{1}{m}}=\frac{1}{k-1}$，$\frac{DB}{PB}=\frac{1}{k-1}$，
∴$\frac{CA}{PA}=\frac{DB}{PB}$，故D正確．
故選C．

點評 本題考查了反比例函數的綜合題，關鍵是設P點坐標，利用點與點的坐標關系，反比例函數的性質表示相關線段的長，對每一個結論進行判斷．