Question

6．拋物線y=x²-2x-3交x軸于A（-1，0），B（3，0）以AB為弦的圓與拋物線x軸上方部分交于P、Q兩點（P左，Q右），且∠APB=45°，求點P，Q的坐標．

Answer 1

分析 如圖，設圓心為k，連接AK、BK．首先求出點K坐標，設P（m，n），則點P滿足（m-1）²+（n-2）²=8且n=m²-2m-3=（m-1）²-4，解方程組即可解決問題．

解答 解：如圖，設圓心為k，連接AK、BK．

∵∠AKB=2∠APB=90°，A（-1，0），B（3，0），
∴OA=1，OB=3，AB=4，
∴AK=BK=2$\sqrt{2}$，
∴點K坐標（1，2），設P（m，n），則點P滿足（m-1）²+（n-2）²=8且n=m²-2m-3=（m-1）²-4，
∴n+4+（n-2）²=8，
∴n=3或0（舍棄），
當n=3時，（m-1）²-4=3，
∴m=1±$\sqrt{7}$，
∴P（1-$\sqrt{7}$，3），Q（1+$\sqrt{7}$，3）．

點評 本題考查拋物線與x軸的交點、圓的有關知識、兩點間距離公式、方程組等知識，解題的關鍵是學會利用參數，把問題轉化為方程組解決，屬于中考常考題型．