Question

4．有10個正實數，這些數中每兩個乘積恰好為1，這時甲同學斷言，任何9個數的和不小于$\sqrt{2}$；乙同學斷言：任何9個數的和小于$\sqrt{2}$，則兩位同學甲正確．

Answer 1

分析 由每兩個乘積恰好為1，判斷任意兩數互為倒數，任意9數的和列出代數式，根據a²+b²≥2ab從而確定和的范圍．

解答 解：∵這些數中每兩個乘積恰好為1，且都是正數，
∴任意兩個數互為倒數，
故可設這兩數分別為x，$\frac{1}{x}$（x＞0，$\frac{1}{x}$＞0），且x•$\frac{1}{x}$=1；
根據題意，任意9個數的和為：
①$4（x+\frac{1}{x}）+x$=5x+$\frac{4}{x}$≥2$\sqrt{5x•\frac{4}{x}}$=4$\sqrt{5}$；
②$4（x+\frac{1}{x}）+\frac{1}{x}$=4x+$\frac{5}{x}$≥2$\sqrt{4x•\frac{5}{x}}$=4$\sqrt{5}$；
∵4$\sqrt{5}$＞$\sqrt{2}$，
∴任意9個數的和不小于$\sqrt{2}$．
故答案為：甲．

點評 本題主要考查倒數的性質及a²+b²≥2ab的應用，根據題意列出代數式并確定范圍是關鍵．