Question

13．如圖，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，AC與BD相交于O點，DE=3BE．
（1）求∠1的度數；
（2）若AD=12cm，求AE、AB的長．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性質得出OB=OD=$\frac{1}{2}$BD，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，AC=BD，證出OA=OB，易證得△OAB是等邊三角形，繼而求得∠1的度數；
（2）由△OAB是等邊三角形，易求得∠ADE=30°，又由AD=12cm，由含30°角的直角三角形的性質求得AE的長，由三角函數求出AB的長即可．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴OB=OD=$\frac{1}{2}$BD，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，AC=BD，
∴OA=OB，
∵DE=3BE，
∴BE=OE，
∵AE⊥BD，
∴AB=OA，
∴OA=AB=OB，
即△OAB是等邊三角形，
∴∠BAO=60°，
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠BAO=30°；
（2）∵△OAB是等邊三角形，
∴∠ABD=60°，
∴∠ADE=90°-∠ABD=30°，
∵AE⊥BD，AD=12cm，
∴AE=$\frac{1}{2}$AD=6cm，AB=AD•tan30°=12×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=4$\sqrt{3}$（cm）．

點評 此題考查了矩形的性質、等邊三角形的判定與性質、含30°角的直角三角形的性質、三角函數．此題難度不大，證明△AOB是等邊三角形是解決問題的關鍵．