Question

如圖，已知點P是二次函數y=-x²+3x圖象在y軸右側部分上的一個動點，將直線y=-2x，沿y軸向上平移，分別交x軸，y軸于C、D兩點．CD⊥CP，且CD=2CP，求點P的坐標．

Answer 1

考點：二次函數的性質,一次函數圖象與幾何變換

專題：

分析：設C（a，0），根據題意得出D（0，2a），從而求得OC=a，OD=2a，作PE⊥x軸于E，通過證得△DOC∽△CEP，得出P（2a，

1

2

a），代入y=-x²+3x得到

1

2

a=-（2a）²+3×2a，解得a=

11

8

，從而求得P點坐標．

解答： 解：設C（a，0），根據題意D（0，2a），
即OC=a，OD=2a，
作PE⊥x軸于E，
∵CD⊥CP，
∴∠DCO+∠PCE=90°，∠PCE+∠CPE=90°，
∴∠DCO=∠CPE，
∵∠DOC=∠CEP=90°，
∴△DOC∽△CEP，
∴

OD

CE

=

OC

PE

=

CD

CP

=

2

1

，
∴CE=a，PE=

1

2

a，
∴P（2a，

1

2

a），
∵P是二次函數y=-x²+3x圖象在y軸右側部分上的一個動點，
∴

1

2

a=-（2a）²+3×2a，解得a=

11

8

，
∴點P的坐標為（

11

4

，

11

16

）．

點評：本題考查了二次函數的性質以及相似三角形的判定和性質．關鍵是利用三角形相似求得P點橫坐標和縱坐標的關系．