Question

10．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=2AD，BE平分∠ABC交CD于點(diǎn)E，作BF⊥AD，垂足F在線(xiàn)段AD上，連接EF．則下列結(jié)論一定成立的是（　�。�
①∠FBC=90°；②點(diǎn)E是CD中點(diǎn)；③EF=EB；④S_△EBF=S_△EDF+S_△EBC．

• A． ①②
• B． ③④
• C． ①②③
• D． ①②③④

Answer 1

分析 由垂直的定義得到∠AFB=90°，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)即可得到∠AFB=∠CBF=90°，故①正確；由平行線(xiàn)的性質(zhì)得到∠CEB=∠ABE，由角平分線(xiàn)的定義得到∠ABE=∠CBE，等量代換得到∠CEB=∠CBE，根據(jù)等腰三角形的判定得到CE=BE，等量代換得到CD=2CE，求得點(diǎn)E是CD中點(diǎn)；故②正確；延長(zhǎng)FE交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)與M，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到EF=EM=$\frac{1}{2}$FM，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到BE=$\frac{1}{2}$FM，等量代換的EF=BE，故③正確；由于S_△BEF=S_△BME，S_△DFE=S_△CME，于是得到S_△EBF=S_△BME=S_△EDF+S_△EBC．故④正確．

解答 解：∵BF⊥AD，
∴∠AFB=90°，
∵在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，
∴∠AFB=∠CBF=90°，故①正確；
∵CD∥AB，
∴∠CEB=∠ABE，
∵BE平分∠ABC交CD于點(diǎn)E，
∴ABE=∠CBE，
∴∠CEB=∠CBE，
∴CE=BE，
∵AB=2AD，
∴CD=2BC，
∴CD=2CE，
∴點(diǎn)E是CD中點(diǎn)；故②正確；
延長(zhǎng)FE交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)與M，
∴∠DFE=∠M，
在△DFE與△CME中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DFE=∠M}\\{∠DEF=∠CEM}\\{DE=CE}\end{array}\right.$，
∴△DFE≌△CME，
∴EF=EM=$\frac{1}{2}$FM，
∵∠FBM=90°，
∴BE=$\frac{1}{2}$FM，
∴EF=BE，故③正確；
∵EF=EM，
∴S_△BEF=S_△BME，
∵△DFE≌△CME，
∴S_△DFE=S_△CME，
∴S_△EBF=S_△BME=S_△EDF+S_△EBC．故④正確．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，得出△DEF≌△CME是解題關(guān)鍵．