Question

3．如圖，已知正方形ABCD，E是AB的中點，F是AD上的一點，EG⊥CF于G且AF=$\frac{1}{4}$AD．
（1）求證：CE平分∠BCF．
（2）求證：$\frac{1}{4}$AB²=CG•FG．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性質得出AB=BC=CD=AD，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，證出$\frac{AE}{BC}=\frac{AF}{BE}$=$\frac{1}{2}$，得出△AEF∽△BCE，由相似三角形的性質得出∠AEF=∠BCE，$\frac{EF}{CE}$=$\frac{1}{2}$=$\frac{BE}{BC}$，證出△ECF∽△BCE，得出∠FCE=∠BCE即可；
（2）由射影定理得：EG²=CG•FG，由AAS證明△BCE≌△GCE（AAS），得出BE=EG=$\frac{1}{2}$AB，即可得出結論．

解答 （1）證明：連接EF，如圖所示：
∵正方形ABCD，E是AB的中點，
∴∠A=∠B=90°，AB=BC=AD=CD=2AE=2BE，
∵AF=$\frac{1}{4}$AD，
∴AE=BE=2AF，
∴$\frac{AE}{BC}=\frac{AF}{BE}$=$\frac{1}{2}$，
∴△AEF∽△BCE，
∴∠AEF=∠BCE，$\frac{EF}{CE}$=$\frac{1}{2}$=$\frac{BE}{BC}$，
∵∠BEC+∠BCE=90°，
∴∠BEC+∠AEF=90°，
∴∠FEC=90°=∠B，
∴△ECF∽△BCE，
∴∠FCE=∠BCE，
∴CE平分∠BCF．

（2）證明：∵EG⊥CF，
∴由射影定理得：EG²=CG•FG，
在△BCE和△GCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠CGE=90°}&{\;}\\{∠BCE=∠GCE}&{\;}\\{CE=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△GCE（AAS），
∴BE=EG=$\frac{1}{2}$AB，
∴$\frac{1}{4}$AB²=CG•FG．

點評 本題考查了正方形的性質、相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質等知識；本題綜合性強，有一定難度，證明三角形相似和三角形全等是解決問題的關鍵．