Question

17．如圖，在平面直角坐標系中，有一個7×7的正方形網格，每個小正方形的邊長為1，如果某二次函數的圖象過A，B兩點，且該二次函數圖象的頂點也在格點上，那么滿足上述條件的二次函數表達式是y=$\frac{1}{3}$（x-2）²+2、y=（x-3）²+1、y=-（x-4）²+6、y=-$\frac{1}{3}$（x-5）²+5．

Answer 1

分析 設該拋物線的頂點式為y=a（x-h）²+k，由于頂點在格點上，即h、k為整數，分h=0、1、2、3、4、5、6、7這七種情況，將A、B兩點的坐標代入解析式中即可求出k的值，依據k為整數取舍，從而求出二次函數的表達式．

解答 解：設拋物線解析式為y=a（x-h）²+k，
∵該二次函數圖象的頂點也在格點上，
∴根據拋物線的對稱軸，可分以下幾種情況討論：
①當h=0時，y=ax²+k，
將A（2，2）、B（5，5）代入，
得：$\left\{\begin{array}{l}{4a+k=2}\\{25a+k=5}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{7}}\\{k=\frac{10}{7}}\end{array}\right.$，舍去；
②當h=1時，y=a（x-1）²+k，
將A（2，2）、B（5，5）代入，
得：$\left\{\begin{array}{l}{a+k=2}\\{16a+k=5}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{5}}\\{k=\frac{9}{5}}\end{array}\right.$，舍去；
③當h=2時，y=a（x-2）²+k，
將A（2，2）、B（5，5）代入，
得：$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{9a+k=5}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{3}}\\{k=2}\end{array}\right.$，
∴此時拋物線的解析式為y=$\frac{1}{3}$（x-2）²+2；
④當h=3時，y=a（x-3）²+k，
將A（2，2）、B（5，5）代入，
得：$\left\{\begin{array}{l}{a+k=2}\\{4a+k=5}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{k=1}\end{array}\right.$，
∴此時拋物線解析式為y=（x-3）²+1；
⑤當h=4時，y=a（x-4）²+k，
將A（2，2）、B（5，5）代入，
得：$\left\{\begin{array}{l}{4a+k=2}\\{a+k=5}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{k=6}\end{array}\right.$，
∴此時拋物線解析式為y=-（x-4）²+6；
⑥當h=5時，y=a（x-5）²+k，
得：$\left\{\begin{array}{l}{9a+k=2}\\{k=5}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{3}}\\{k=5}\end{array}\right.$，
∴此時拋物線解析式為y=-$\frac{1}{3}$（x-5）²+5；
⑦當h=6時，y=a（x-6）²+k，
將A（2，2）、B（5，5）代入，
得：$\left\{\begin{array}{l}{16a+k=2}\\{a+k=5}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{5}}\\{k=\frac{26}{5}}\end{array}\right.$，舍去；
⑧當h=7時，y=a（x-7）²+k，
將A（2，2）、B（5，5）代入，
得：$\left\{\begin{array}{l}{25a+k=2}\\{4a+k=5}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{7}}\\{k=\frac{39}{7}}\end{array}\right.$，舍去；
綜上，滿足上述條件的二次函數表達式是y=$\frac{1}{3}$（x-2）²+2、y=（x-3）²+1、y=-（x-4）²+6、y=-$\frac{1}{3}$（x-5）²+5．

點評 本題主要考查待定系數法二次函數解析式，解題的關鍵在于設出拋物線的頂點式，依據頂點在格點上，即h、k為整數，分h=0、1、2、3、4、5、6、7這七種情況分別利用待定系數法求解．