Question

3．村料一：我們可以將任意三位數記為$\overline{abc}$，（其中a、b、c分別表示該數的百位數字，十位數字和個位數字，且a≠0）．顯然$\overline{abc}$=100a+10b+c．
材料二：若一個三位數的百位數字，十位數字和個位數字均不為0，則稱之為原始數，比如123就是一個原始數，將原始數的三個數位上的數字交換順序，可產生出5個新的原始數，比如由123可以產生出132，213、231、312、321這5個新原始數，將這6個數相加，得到的和1332稱為由原始數123生成的終止數．
問題：
（1）分別求出由下列兩個原始數生成的終止數：247，638；
（2）若由一個原始數生成的終止數為1110，求滿足條件的所有原始數．

Answer 1

分析 （1）先寫出每個數產生的原始數，相加得到它們的終止數．
（2）終止數為1110的原始數一定是個三位數，可根據各個原始數的和與終止數相等，得到原始數各個數位的數字和，然后寫出滿足條件的所有原始數．

解答 （1）解：由247可以產生出274，427、472、742、724這5個新原始數，
將這6個數相加，得247+274+427+472+742+724=2886
所以由原始數247生成的終止數為2886；
由638可以產生出683，368、386、863、836這5個新原始數，
將這6個數相加，得638+683+386+368+863+836=3774
所以由原始數638生成的終止數為3774．
（2）若原始數為$\overline{abc}$=100a+10b+c，可以產生出的5個新原始數，它們是100a+10c+b，100b+10a+c，100b+10c+c，100c+10a+b，100c+10b+a，將它們相加：100a+10b+c+100a+10c+b+100b+10a+c+100b+10c+c+100c+10a+b+100c+10b+a=220（a+b+c）
因為終止數為1110
所以220（a+b+c）=1110，
所以a+b+c=5．
所以滿足條件的原始數有：113，122，131，212，221，311．

點評 本題考查了寫原始數，算終止數，屬于新定義類問題．掌握原式數的得到規律，找到各個數位間的數字關系是解決本題的關鍵．