Question

7．如圖，過點O的四條射線OA、OB、OD、OC按逆時針排列，∠AOB=60°，OM平分∠AOC，ON平分∠DOB．
①如圖（1），當∠COD=80°時，求∠MON的度數．
②如圖（2），若∠COD的度數為n，請用n的式子表示∠MON的度數．
③在②的條件下，當∠AON比∠CON大40°時，求∠MON的度數．

Answer 1

分析 （1）如圖1，根據角平分線的定義得到∠BON+∠AOM=10°，根據角的和差關系即可求得∠MON；
（2）如圖2，設∠AOM=x°，則∠BOM=∠AOB-∠AOM=60°-x°，根據角平分線的定義得到∠NOB=x°-30°-$\frac{1}{2}$n°，則∠MON=∠NOB+∠BOM即可求解；
（3）根據角平分線的定義和已知條件可得∠COD=20°，由（2）可知∠MON=30°-$\frac{n}{2}$，代入即可求得∠MON．

解答 解：（1）如圖1，∵∠COD=80°，∠AOB=60°，
∴∠BOD+∠AOC=20°，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠DOB，
∴∠BON+∠AOM=10°，
∴∠MON=60°+10°=70°；
（2）如圖2，設∠AOM=x°，則∠BOM=∠AOB-∠AOM=60°-x°．
∵OM平分∠AOC，
∴∠COM=∠AOM=x°，
∴∠DOB=∠COM-∠COD-∠BOM=x°-n°-（60°-x°）=2x°-60°-n°，
∵ON平分∠DOB，
∴∠NOB=$\frac{1}{2}$∠DOB=x°-30°-$\frac{1}{2}$n°，
∴∠MON=∠NOB+∠BOM=x°-30°-$\frac{1}{2}$n°+60°-x°=30°-$\frac{1}{2}$n°；
（3）∵ON平分∠DOB，
∴∠DON=∠BON，
∵∠AON比∠CON大40°，∠AOB比∠COD大40°，
∴∠COD=20°，
由（2）可知∠MON=30°-$\frac{n}{2}$，
∴∠MON=20°．

點評 本題主要考查角的計算，角平分線的定義，學生在學習過程中對角度關系及運算的靈活運用和掌握．此類題目的練習有利于學生更好的對角的理解．