Question

15．在平面直角坐標系中，直線y=-$\frac{5}{12}$x+5與x軸、y軸分別交于點A、B，P是射線AB上一動點，設AP=a，以AP為直徑作⊙C．

（1）求cos∠ABO的值；
（2）當a為何值時，⊙C與坐標軸恰有3個公共點；
（3）過P作PM⊥x軸于M，與⊙C交于點D，連接OD交AB于點N，若∠ABO=∠D，求a的值．

Answer 1

分析 （1）根據一次函數的解析式和坐標軸上點的坐標特征求出點A、B的坐標，根據余弦的定義計算即可；
（2）分⊙C過原點O和⊙C與OB相切兩種情況，根據題意和切線的性質定理以及相似三角形的性質計算即可；
（3）連接AD，根據圓周角定理得到∠ADP=90°，證明∠ABO=∠AOD，根據正切的定義求出DA的長，在Rt△ADO中，根據余弦的定義求出AP，得到a的值．

解答 解：（1）∵直線y=-$\frac{5}{12}$x+5與x軸、y軸分別交于點A、B，
∴A （0，5），B （12，0），
∴AO=5，BO=12．
∵AO⊥BO，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=13，
∴$cos∠ABO=\frac{BO}{AB}=\frac{12}{13}$；
（2）⊙C與坐標軸恰有3個公共點時，⊙C過原點O或⊙C與OB相切，
①⊙C過原點O，
∴a=AB=13；
②如圖1，⊙C與OB相切，設切點為H，連接CH，則CH⊥OB，
∵AO⊥OB，
∴△BCH∽△BAO，
∴$\frac{BC}{BA}=\frac{CH}{AO}$，
∴$\frac{{13-\frac{1}{2}a}}{13}=\frac{{\frac{1}{2}a}}{5}$，
∴$a=\frac{65}{9}$．
綜上所述：a=13或$a=\frac{65}{9}$；
（3）如圖2，連接AD，
∵AP是直徑，
∴∠ADP=90°，
∵PM⊥x軸，
∴∠DMB=90°．
∵∠ABO=∠ODM，∠NPD=∠BPM，
∴∠DNP=∠BMP=90°，
∴∠ABO=90°-∠DOM=∠AOD，
∴tan∠AOD=$tan∠ABO=\frac{AO}{BO}=\frac{5}{12}$，
PM⊥x軸，AO⊥x軸，∠ADP=90°，
∴∠OAD=90°，
在Rt△ADO中，tan∠AOD=$\frac{AD}{AO}$=$\frac{5}{12}$，
∴AD=$\frac{5}{12}$×5=$\frac{25}{12}$，
又∵∠DAP=∠ABO，
在Rt△ADO中，cos∠DAP=$\frac{AD}{AP}$，
∴AP=$\frac{AD}{cos∠DAP}=\frac{AD}{cos∠ABO}$=$\frac{25}{12}$×$\frac{13}{12}$=$\frac{325}{144}$，
∴$a=AP=\frac{325}{144}$．

點評 本題考查的是直線與圓的位置關系、銳角三角函數的定義，正確作出輔助線、掌握切線的性質定理和銳角三角函數的定義是解題的關鍵．