Question

14．如圖，AB是圓O直徑，PB、PC分別與圓O相切于B、C，連接PO交圓O于D、E，CE與AD相交于F．
（1）猜想△DEF的形狀，并證明；
（2）若圓O的半徑為3，PB=4，求EF的長．

Answer 1

分析 （1）△DEF是等腰三角形．只要證明AC∥DE，可得∠CAD=∠ADE，因為∠CAD=∠CED，即可推出∠FED=∠FDE，由此即可解決問題．
（2）如圖2中，連接OF、BD，作BN⊥OP于N．通過解直角三角形分別求出BN、ON、DN、BD、AD，再求出cos∠A，即可根據(jù)cos∠E=cos∠A=$\frac{EO}{EF}$解決問題．

解答 解：（1）結(jié)論：△DEF是等腰三角形．理由如下：
如圖1中，連接AC、BC、OC．

∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
∵PB、PC是切線，
∴PB=PC，∵OC=OB，
∴OP垂直平分BC，
∴OP∥AC，
∴∠CAD=∠ADE，
∵∠CAD=∠CED，
∴∠FED=∠FDE，
∴FD=FE．

（2）如圖2中，連接OF、BD，作BN⊥OP于N．

∵PB是切線，
∴∠OBP=90°，
在Rt△OBP中，∵OB=3，PB=4，
∴OP=$\sqrt{O{B}^{2}+P{B}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵$\frac{1}{2}$•OB•PB=$\frac{1}{2}$•OP•BN，
∴BN=$\frac{12}{5}$，
在Rt△OBN中，ON=$\sqrt{O{B}^{2}-B{N}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}-（\frac{12}{5}）^{2}}$=$\frac{9}{5}$，
∴DN=OD-ON=$\frac{6}{5}$，BD=$\sqrt{B{N}^{2}+D{N}^{2}}$=$\frac{6}{5}$$\sqrt{5}$，
∴AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$，
∴cosA=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∵∠A=∠E，F(xiàn)E=FD，OE=OD，
∴FO⊥ED，
∴cos∠E=$\frac{EO}{EF}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴EF=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查切線的性質(zhì)、切線長定理、直徑的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理、銳角三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，本題的突破口是求出cos∠A的值，屬于中考常考題型．