Question

9．如圖，正三角形ABC的邊長為2，分別以A、B、C為圓心，1為半徑畫弧，與△ABC的內切圓O圍成的圖形為圖中陰影部分，求S_陰影．

Answer 1

分析 直接利用等邊三角形的性質結合扇形面積求法得出扇形中間空白面積，進而得出答案．

解答 解：連接AO，EO，
由題意可得：AE=1，∠OAE=30°，
則tan30°=$\frac{EO}{AE}$=$\frac{EO}{1}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故EO=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
則S_△AEO=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
∴S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{6}$×6=$\sqrt{3}$，
∴扇形中間空白面積為：S_△ABC-33_扇形ADE=$\sqrt{3}$-3×$\frac{60×π×{1}^{2}}{360}$=$\sqrt{3}$-$\frac{π}{4}$，
∴S_陰影=π×（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）²-（$\sqrt{3}$-$\frac{π}{4}$）=$\frac{7π}{12}$-$\sqrt{3}$．

點評 此題主要考查了等邊三角形的性質以及扇形面積求法和三角形的內心，正確得出空白面積是解題關鍵．