Question

18．如圖，在矩形ABCD中，AB=6米，BC=8米，動點P以2米/秒的速度從點A出發，沿AC向點C移動，同時動點Q以1米/秒的速度從點C出發，沿CB向點B移動，設P、Q兩點移動t秒（0＜t＜5）后，四邊形ABQP的面積為S平方米．

（1）求面積S與時間t的關系式；
（2）在P、Q兩點移動的過程中，四邊形ABQP與△CPQ的面積能否相等？若能，直接寫出此時點P的位置； 若不能，請說明理由；
（3）當t為何值時，△CPQ是等腰三角形？

Answer 1

分析 （1）過點P作PE⊥BC于E，利用勾股定理求出AC的長，AP=2t，CQ=t，則PC=10-2t，又PE∥AB，根據平行線分線段成比例列出比例式即可得出PE的長，再由三角形的面積公式即可得出結論；
（2）假設四邊形ABQP與△CPQ的面積相等，則S_△PCQ=$\frac{1}{2}$S_△ABC，再判斷出方程根的情況即可；
（3）有三種情況：①PC=QC，②PQ=QC，③PQ=PC，代入得出關于t的方程，求出方程的解即可．

解答 解：（1）過點P作PE⊥BC于E．

Rt△ABC中，AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10（米），
由題意知：AP=2t，CQ=t，則PC=10-2t
由AB⊥BC，PE⊥BC得PE∥AB
∴$\frac{PE}{AB}$=$\frac{PC}{AC}$，
即：$\frac{PE}{6}$=$\frac{10-2t}{10}$，
∴PE=$\frac{3}{5}$（10-2t）=-$\frac{6}{5}$t+6，
又∵S△ABC=$\frac{1}{2}$×6×8=24，
∴S=S_△ABC-S_△PCQ=24-$\frac{1}{2}$•t•（-$\frac{6}{5}$t+6）=$\frac{3}{5}$t²-3t+22，
即：S=$\frac{3}{5}$t²-3t+24．

（2）假設四邊形ABQP與△CPQ的面積相等，則有：$\frac{3}{5}$t²-3t+24=12
即：t²-5t+20=0
∵b²-4ac=（-5）2-4×1×20＜0
∴方程無實根
∴在P、Q兩點移動的過程中，四邊形ABQP與△CPQ的面積不能相等．

（3）（2）解：①當PC=QC時，有t=10-2t，t=$\frac{10}{3}$，
②當PQ=QC時，有 $\frac{\frac{1}{2}（10-2t）}{t}$=$\frac{4}{5}$，解得t=$\frac{25}{9}$ （秒），
③當PQ=PC時，有 $\frac{\frac{1}{2}t}{10-2t}$=$\frac{4}{5}$，解得t=$\frac{80}{21}$（秒），
所以，當t為 $\frac{10}{3}$秒、$\frac{25}{9}$秒、$\frac{80}{21}$秒時，△PQC為等腰三角形．

點評 本題主要考查對等腰三角形的性質，勾股定理，三角形的面積，矩形的性質，平行線分線段成比例定理等知識點的理解和掌握，能綜合運用這些性質進行計算是解此題的關鍵．