Question

17．如圖，以△ABC的三邊為邊，在BC的同側作三個等邊△ABD，△BEC，△ACF
（1）判斷四邊形ADEF的形狀．并證明你的結論；
（2）當∠BAC=150°時，四邊形ADEF是矩形；
（3）當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADEF是菱形？說明理由．

Answer 1

分析 （1）本題可根據三角形全等證得DE=AF，AD=EF，即可知四邊形ADEF是平行四邊形；
（2）要使四邊形ADEF是矩形，必須讓∠FAD=90°，則∠BAC=360°-90°-60°-60°=150°；
（3）根據等邊三角形性質得出BD=AB，BE=BC，∠DBA=∠EBC=60°，求出∠DBE，證△DBE≌△ABC，推出DE=AC=AF，同理AD=EF得出平行四邊形ADEF，根據菱形的判定判斷即可．

解答 解：
（1）四邊形ADEF為平行四邊形，理由如下：
∵△ABD和△EBC都是等邊三角形，
∴BD=AB，BE=BC；
∵∠DBA=∠EBC=60°，
∴∠DBA-∠EBA=∠EBC-∠EBA，
∴∠DBE=∠ABC；
∵在△BDE和△BAC中
$\left\{\begin{array}{l}{BD=BA}\\{∠DBE=∠ABC}\\{BE=BC}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△BAC，
∴DE=AC=AF，
同理可證：△ECF≌△BCA，
∴EF=AB=AD，
∴ADEF為平行四邊形；
（2）當∠BAC=150°，四邊形ADEF是矩形，理由如下：
∵四邊形ADEF是矩形，
∴∠DAF=90°．
又∵等邊△ABD、△BCE、△ACF，
∴∠DAB=∠FAC=60°．
∴∠BAC=360-∠DAF-∠FAC-∠DAB=150°．
當△ABC滿足∠BAC=150°時，四邊形ADEF是矩形．
故答案為：150°；
（3）當△ABC滿足條件AB=AC時，四邊形ADEF是菱形，理由如下：
∵△ABD和△BCE是等邊三角形，
∴BD=AB，BE=BC，∠DBA=∠EBC=60°，
∴∠DBE=∠CBA=60°-∠EBA，
在△DBE和△ABC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=BA}\\{∠DBE=∠ABC}\\{BE=BC}\end{array}\right.$，
∴△DBE≌△ABC（SAS），
∴DE=AC，
∵△AFC是等邊三角形，
∴AF=AC，
∴AF=DE，
同理AD=EF，
∴四邊形ADEF是平行四邊形，
當AB=AC時，
∵AD=AB，AC=AF，
∴AD=AF，
∴四邊形ADEF是菱形．

點評 本題考查了平行四邊形的性質和判定、全等三角形的判斷和性質、菱形的判定的應用以及矩形的判斷，熟記各種特殊四邊形的各種判斷方法和性質是解題的關鍵．