Question

7．某學校小組利用暑假中前40天參加社會實踐活動，參與了一家網上書店經營，了解到一種成本每本20元的書在x天銷售量P=50-x．在第x天的售價每本y元，y與x的關系如圖所示．  已知當社會實踐活動時間超過一半后．y=20+$\frac{315}{x}$
（1）請求出當1≤x≤20時，y與x的函數關系式，并求出第12天此書的銷售單價；
（2）這40天中該網點銷售此書第幾天獲得的利潤最大？最大的利潤是多少？

Answer 1

分析 （1）當1≤x≤20時，設y=kx+b，將（1，30.5），（20，40）代入，利用待定系數法求出y與x的函數關系式；然后在每個x的取值范圍內，令y=35，分別解出x的值即可；
（2）利用利潤=售價-成本，分別求出在1≤x≤20和21≤x≤40時，獲得的利潤w與x的函數關系式；再利用二次函數及反比例函數的性質求出最大值，然后比較即可．

解答 解：（1）當1≤x≤20時，設y=kx+b，將（1，30.5），（20，40）代入得：
$\left\{\begin{array}{l}{k+b=30.5}\\{20k+b=40}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=30}\end{array}\right.$，
則y與x的函數關系式為：y=$\frac{1}{2}$x+30（1≤x≤20），
當x=12時，y=6+30=36，
答：函數關系式為：y=$\frac{1}{2}$x+30，第12天該商品的銷售單價為每本36元；

（2）設該網店第x天獲得的利潤為w元．
當1≤x≤20時，w=（$\frac{1}{2}$x+30-20）（50-x）=-$\frac{1}{2}$x²+15x+500=-$\frac{1}{2}$（x-15）²+$\frac{1225}{2}$，
∵-$\frac{1}{2}$＜0，
∴當x=15時，w有最大值w₁，且w₁=$\frac{1225}{2}$，
當21≤x≤40時，w=（20+$\frac{315}{x}$-20）（50-x）=$\frac{15750}{x}$-315，
∵15750＞0，
∴$\frac{15750}{x}$隨x的增大而減小，
∴x=21時，$\frac{15750}{x}$最大．
于是，x=21時，w有最大值w₂，且w₂=$\frac{15750}{21}$-315=435，
∵w₁＞w₂，
∴這40天中該網點銷售此書第15天獲得的利潤最大，最大的利潤是612.5元．

點評 本題考查了反比例函數、二次函數的應用，待定系數法求一次函數的解析式，解答本題的關鍵是熟練掌握二次函數的性質和反比例函數的性質以及最值的求法，難度適中．