Question

18．如圖，已知一次函數y=ax+b（a，b為常數，a≠0）的圖象與x軸，y軸分別交于點A，B，且與反比例函數y=$\frac{k}{x}$（k為常數，k≠0）的圖象在第二象限內交于點C，作CD⊥x軸于D，若OA=OD=$\frac{3}{4}$OB=3．
（1）求一次函數與反比例函數的解析式；
（2）觀察圖象直接寫出不等式0＜ax+b≤$\frac{k}{x}$的解集；
（3）在y軸上是否存在點P，使得△PBC是以BC為一腰的等腰三角形？如果存在，請直接寫出P點的坐標；如果不存在，請簡要說明理由．

Answer 1

分析 （1）由平行線分線段成比例可求得CD的長，則可求得A、B、C、的坐標，再利用待定系數法可求得函數解析式；
（2）由題意可知所求不等式的解集即為直線AC在x軸上方且在反比例函數圖象下方的圖象所對應的自變量的取值范圍，結合函數圖象可求得答案；
（3）由B、C的坐標可求得BC的長，當BC=BP時，則可求得P點坐標，當BC=PC時，可知點C在線段BP的垂直平分線上，則可求得BP的中點坐標，可求得P點坐標．

解答 解：
（1）∵CD⊥OA，
∴DC∥OB，
∴$\frac{OB}{CD}$=$\frac{OA}{AD}$=$\frac{3}{6}$=$\frac{1}{2}$，
∴CD=2OB=8，
∵OA=OD=$\frac{3}{4}$OB=3，
∴A（3，0），B（0，4），C（-3，8），
把A、B兩點的坐標分別代入y=ax+b可得$\left\{\begin{array}{l}{3a+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{4}{3}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴一次函數解析式為y=-$\frac{4}{3}$x+4，
∵反比例函數y=$\frac{k}{x}$的圖象經過點C，
∴k=-24，
∴反比例函數的解析式為y=-$\frac{24}{x}$；

（2）由題意可知所求不等式的解集即為直線AC在x軸上方且在反比例函數圖象下方的圖象所對應的自變量的取值范圍，
即線段AC（包含A點，不包含C點）所對應的自變量x的取值范圍，
∵C（-3，8），
∴0＜-$\frac{4}{3}$x+4≤-$\frac{24}{x}$的解集為-3≤x＜0；

（3）∵B（0，4），C（-3，8），
∴BC=5，
∵△PBC是以BC為一腰的等腰三角形，
∴有BC=BP或BC=PC兩種情況，
①當BC=BP時，即BP=5，
∴OP=BP+OB=4+5=9，或OP=BP-PB=5-4=1，
∴P點坐標為（0，9）或（0，-1）；
②當BC=PC時，則點C在線段BP的垂直平分線上，
∴線段BP的中點坐標為（0，8），
∴P點坐標為（0，12）；
綜上可知存在滿足條件的點P，其坐標為（0，-1）或（0，9）或（0，12）．

點評 本題為反比例函數的綜合應用，涉及待定系數法、平行線分線段成比例、函數與不等式、等腰三角形的性質、數形結合及分類討論思想等知識．在（1）中求得A、B、C的坐標是解題的關鍵，在（2）中注意利用數形結合思想，在（3）中確定出△PBC的兩種情況是解題的關鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．