Question

15．已知關于x的一元二次方程：x²-2（m+1）x+m²+5=0有兩個不相等的實數根．
（1）求m的取值范圍；
（2）若原方程的兩個實數根為x₁、x₂，且滿足x₁²+x₂²=|x₁|+|x₂|+2x₁x₂，求m的值．

Answer 1

分析 （1）由方程有兩個不相等的實數根結合根的判別式即可得出關于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范圍；
（2）根據根與系數的關系即可得出x₁+x₂=2（m+1）、x₁•x₂=m²+5，結合m的取值范圍即可得出x₁＞0、x₂＞0，再由x₁²+x₂²=|x₁|+|x₂|+2x₁x₂即可得出6m-18=0，解之即可得出m的值．

解答 解：（1）∵方程x²-2（m+1）x+m²+5=0有兩個不相等的實數根，
∴△=[-2（m+1）]²-4（m²+5）=8m-16＞0，
解得：m＞2．
（2）∵原方程的兩個實數根為x₁、x₂，
∴x₁+x₂=2（m+1），x₁•x₂=m²+5．
∵m＞2，
∴x₁+x₂=2（m+1）＞0，x₁•x₂=m²+5＞0，
∴x₁＞0、x₂＞0．
∵x₁²+x₂²=$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$-2x₁•x₂=|x₁|+|x₂|+2x₁•x₂，
∴4（m+1）²-2（m²+5）=2（m+1）+2（m²+5），即6m-18=0，
解得：m=3．

點評 本題考查了根與系數的關系以及根的判別式，解題的關鍵是：（1）根據方程有兩個不相等的實數根找出△=8m-16＞0；（2）根據根與系數的關系結合x₁²+x₂²=|x₁|+|x₂|+2x₁x₂得出6m-18=0．