Question

1．課本P₁52有段文字：把函數y=2x的圖象分別沿y軸向上或向下平移3個單位長度，就得到函數y=2x+3或y=2x-3的圖象．
【閱讀理解】
小堯閱讀這段文字后有個疑問：把函數y=-2x的圖象沿x軸向右平移3個單位長度，如何求平移后的函數表達式？
老師給了以下提示：如圖1，在函數y=-2x的圖象上任意取
兩個點A、B，分別向右平移3個單位長度，得到A′、B′，
直線A′B′就是函數y=-2x的圖象沿x軸向右平移3個單位長度后得到的圖象．
請你幫助小堯解決他的困難．
（1）將函數y=-2x的圖象沿x軸向右平移3個單位長度，平移后的函數表達式為C
A．y=-2x+3
B．y=-2x-3
C．y=-2x+6
D．y=-2x-6
【解決問題】
（2）已知一次函數的圖象如圖2與直線y=-2x關于x軸對稱，求此一次函數的表達式．
【拓展探究】
（3）將一次函數y=-2x的圖象繞點（2，3）逆時針方向旋轉90°后得到的圖象對應的函數表達式為y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{2}$．（直接寫結果）

Answer 1

分析 （1）利用平移規律確定出平移后函數解析式即可；
（2）找出y=-2x上兩點坐標，進而求出關于x軸對稱點的坐標，利用待定系數法求出一次函數解析式即可；
（3）由題意設出旋轉后的函數解析式為y=$\frac{1}{2}$x+b，根據（2，3）到直線y=-2x與y=$\frac{1}{2}$x+b距離相等求出b的值，即可確定出所求函數解析式．

解答 解：（1）利用平移規律得：將函數y=-2x的圖象沿x軸向右平移3個單位長度，平移后的函數表達式y=-2（x-3）=-2x+6．
故選：C；
（2）在函數y=-2x的圖象上取兩個點A（0，0）、B（1，-2），
關于x軸對稱的點的坐標A′（0，0）、B′（1，2），
設所求一次函數解析式為y=mx，
把x=1，y=2代入得：m=2，
則一次函數的表達式為y=2x；
（3）設旋轉后的函數解析式為y=$\frac{1}{2}$x+b，
∵點（2，3）到直線y=-2x的距離d=$\frac{7}{\sqrt{5}}$，
∴點（2，3）到直線y=$\frac{1}{2}$x+b的距離d=$\frac{|b-2|}{\sqrt{\frac{5}{4}}}$=$\frac{2|b-2|}{\sqrt{5}}$=$\frac{7}{\sqrt{5}}$，
整理得：|b-2|=$\frac{7}{2}$，即b-2=$\frac{7}{2}$或b-2=-$\frac{7}{2}$，
解得：b=$\frac{11}{2}$（不合題意，舍去）或b=-$\frac{3}{2}$，
則所求函數解析式為y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{2}$．  
故答案為：y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{2}$．

點評 此題考查了一次函數綜合題，涉及的知識有：待定系數法求一次函數解析式，平移、對稱及旋轉的性質，以及點到直線的距離公式，熟練掌握待定系數法是解本題的關鍵．