Question

20．如圖，在平面直角坐標系xoy中，等邊三角形OAC的邊長為2，點B是x軸正半軸上的動點，以AB為邊向上作等邊△ABE

（1）如圖1，當∠OAB=90°時，求直線CE的解析式．
（2）連接CE，如圖2
①判斷CE與BO是否相等，并說明理由；
②設點E的橫坐標為m，求出點E的坐標（用含m的式子表示）并判斷點E是否一定在（1）中所求的直線CE上，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用等邊三角形和直角三角形的性質求出OB和AB的長，即可得到C（2，0），E（4，2$\sqrt{3}$），再用待定系數法求出解析式；
（2）①證出△OAB≌△CAE，易得CE=BO；②作AG⊥OB，EF⊥OB，證明△AGC∽△EFC，利用相似三角形對應邊成比例列比例式，求出點E的坐標，再把點E的坐標代入直線解析式即可判斷點E一定在這條直線上．

解答 解：
（1）∵∠OAB=90°，△ABE是等邊三角形，
∴∠ABO=30°，
∵等邊△OAC的邊長是2，
∴OB=4，AB=BE=2$\sqrt{3}$，
∴C（2，0），E（4，2$\sqrt{3}$）
設直線CE的解析式為y=kx+b，則$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=0}\\{4k+b=2}\end{array}\right.$，解得：k=$\left\{\begin{array}{l}{k=\sqrt{3}}\\{b=-2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴直線CE的解析式為y=$\sqrt{3}$x-2$\sqrt{3}$；
（2）①CE=BO．
理由如下：
∵△OAC和△ABE是等邊三角形，
∴AO=AC，AE=AB，∠OAC=∠BOE=60°，
∴∠OAC+∠CAB=∠BOE+∠CAB，
即∠OAB=∠CAE，
在△OAB和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AO=AC}\\{∠OAB=∠CAE}\\{AE=AB}\end{array}\right.$
∴△OAB≌△CAE（SAS）
∴CE=BO；
②如圖2，作AG⊥OB，EF⊥OB，

∵△OAB≌△CAE，
∴∠AOB=∠ACE=60°，
∴∠ECF=60°，
∴△AGC∽△EFC，
∴$\frac{AG}{EF}$=$\frac{GC}{FC}$，
由題意知，CG=1，AG=$\sqrt{3}$，CF=m-2
∴EF=$\sqrt{3}$m-2$\sqrt{3}$，
∴點E的坐標為：（m，$\sqrt{3}$m-2$\sqrt{3}$）．
把E點坐標代入代入y=$\sqrt{3}$x-2$\sqrt{3}$，
檢驗，左邊=右邊，
∴點E一定在直線CE上．

點評 本題為一次函數的綜合應用，涉及等邊三角形、直角三角形的性質、待定系數法、全等三角形的判定和性質及相似三角形的判定和性質等知識．在（1）中求得E點坐標是解題的關鍵，在（2）中證明三角形全等和相似是解題的關鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．