Question

4．如圖，在銳角△ABC中，AC是最短邊；以AC中點O為圓心，$\frac{1}{2}$AC長為半徑作⊙O，交BC于E，過O作OD∥BC交⊙O于D，連結AE、AD、DC．
（1）求證：D是$\widehat{AE}$的中點；
（2）求證：∠DAO=∠B+∠BAD．

Answer 1

分析 （1）根據圓同弧或等弧所對的圓周角相等，可以證明該結論；
（2）根據OD∥BC，OD=OA，可以得到角的關系，然后通過轉化就可以證明結論．

解答 （1）∵由已知可得，OD∥BC，OD=OC，
∴∠ODC=∠DCE，∠ODC=∠OCD，
∴∠OCD=∠DCE，
∴弧AD=弧DE，
即D是$\widehat{AE}$的中點；
（2）證明：延長AD與BC交于點G，如下圖所示，

∵OD∥BC，OD=OA，
∴∠ADO=∠AGE，∠ADO=∠DAO，
∴∠AGE=∠DAO，
∵∠AGE=∠B+∠BAD，
∴∠DAO=∠B+∠BAD．

點評 本題考查圓周角定理，圓心角、弧、弦的關系、平行線的性質，三角形的外角與內角的關系，解題的關鍵是明確題意，找出所求結論需要的條件．