Question

13．如圖，已知A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（2，0）、（0，2），⊙C的圓心坐標(biāo)為（-1，0），半徑為1．若D是⊙O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段DA與y軸交于點(diǎn)E，則△ABE面積的最大值為（　�。�

• A． 2+$\sqrt{2}$
• B． 2+$\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 由題意可得當(dāng)AD和⊙C相切時(shí)，△ABE的面積最大，畫出此時(shí)的圖形，然后由已知條件和三角形的相似，可以求得此時(shí)的△ABE面積的最大值．

解答 解：由題意可得，當(dāng)AD與⊙C相切時(shí)，△ABE的面積最大，此時(shí)點(diǎn)D在D₁的位置，如下圖所示，

連接CD₁，則∠CD₁A=90°，
∴△CD₁A∽△OE₁A，
∴$\frac{OA}{{D}_{1}A}=\frac{O{E}_{1}}{{D}_{1}C}$
∵OA=2，AC=3，CD₁=1，
∴$A{D}_{1}=\sqrt{{3}^{2}-{1}^{2}}=2\sqrt{2}$，
∴$O{E}_{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴${S}_{△AB{E}_{1}}=\frac{（2+\frac{\sqrt{2}}{2}）×2}{2}$=2+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故選B．

點(diǎn)評 本題考查切線的性質(zhì)、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、三角形的相似、最值，解題的關(guān)鍵是明確題意畫出相應(yīng)的圖形，求出相應(yīng)的圖形的面積．