Question

4．在△ABC中，∠ACB=90°，CD為AB邊上的高線，DE⊥AC于點E．

（1）若AD=BC，求證：DE=DB；
（2）若G是DE的中點，延長AG交BC于F．求證：F是BC的中點；
（3）在（2）的條件下，延長CG交AB于H，使AH=BH，當AC=4時，求DE的長．

Answer 1

分析 （1）由直角三角形的性質得出∠BAC=∠DCB，由AAS證明△ADE≌△CBD，即可得出∴DE=DB；
（2）證出DE∥BC，由平行線分線段成比例定理得出$\frac{DG}{BF}=\frac{AG}{AF}$，$\frac{AG}{AF}=\frac{GE}{FC}$，證出$\frac{DG}{BF}=\frac{GE}{FC}$，再由已知條件即可得出結論；
（3）連接HF，過H作HM⊥AC于M，連接DM，如圖所示：由平行線證出AM=CM=$\frac{1}{2}$AC=2，得出DM=$\frac{1}{2}$AC=2，由三角形中位線定理得出HF∥AC，HF=$\frac{1}{2}$AC，由平行線得出比例式$\frac{AG}{GF}=\frac{AC}{HF}$=2，求出AE=$\frac{2}{3}$AC=$\frac{8}{3}$，得出ME=AE-AM=$\frac{2}{3}$，在Rt△DEM中，由勾股定理求出DE即可．

解答 （1）證明：∵∠ACB=90°，
∴∠B+∠BAC=90°，
∵CD為AB邊上的高線，
∴∠CDB=90°，
∴∠DCB+∠B=90°，
∴∠BAC=∠DCB，
∵DE⊥AC，
∴∠DEA=∠CDB=90°，
在△ADE和△CBD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DAE=∠DCB}&{\;}\\{∠DEA=∠CDB}&{\;}\\{AD=CB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CBD（AAS），
∴DE=DB；
（2）證明：∵∠ACB=90°，
∴BC⊥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE∥BC，
∴$\frac{DG}{BF}=\frac{AG}{AF}$，$\frac{AG}{AF}=\frac{GE}{FC}$，
∴$\frac{DG}{BF}=\frac{GE}{FC}$，
∵G是DE的中點，
∴DG=GE，
∴BF=FC，
∴F是BC的中點；              
（3）解：連接HF，過H作HM⊥AC于M，連接DM，如圖所示：
∵HM⊥AC，BC⊥AC，
∴HM∥BC，
∵AH=BH，
∴AM=CM=$\frac{1}{2}$AC=2，
∵CD⊥AB，
∴△ADC是直角三角形，
∴DM=$\frac{1}{2}$AC=2，
∵F是BC中點，
∴HF∥AC，HF=$\frac{1}{2}$AC，
∴$\frac{AG}{GF}=\frac{AC}{HF}$=2，
∴$\frac{AG}{AF}=\frac{AE}{AC}$=$\frac{2}{3}$，
∴AE=$\frac{2}{3}$AC=$\frac{8}{3}$，
∴ME=AE-AM=$\frac{8}{3}$-2=$\frac{2}{3}$，
在Rt△DEM中，DE=$\sqrt{D{M}^{2}-M{E}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-（\frac{2}{3}）^{2}}$=$\frac{4}{3}$$\sqrt{2}$．

點評 本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質、平行線的判定、平行線分線段成比例定理、等腰三角形的判定與性質、三角形中位線定理、勾股定理等知識；本題綜合性強，有一定難度．