Question

已知x₁，x₂是關于x的一元二次方程kx²+（k+2）x+

k

4

=0的兩個實數根．
（1）求k的取值范圍；
（2）是否存在實數k，

1

x1

+

1

x2

=0成立？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：根的判別式,根與系數的關系

專題：

分析：（1）根據一元二次方程的定義和判別式的意義得到k≠0且△=（k+2）²-4×k×

k

4

≥0，然后求出兩不等式的公共部分即可；
（2）先根據根與系數的關系得到x₁+x₂=-

k+2

k

，x₁x₂=

1

4

，由于

1

x1

+

1

x2

=0，則

- k+2 k

1 4

=0，解得k=-2，然后根據k的值是否滿足（1）的范圍確定是否存在．

解答： 解：（1）根據題意得k≠0且△=（k+2）²-4×k×

k

4

≥0，
解得k≥-1且k≠0；

（2）不存在．
根據題意得x₁+x₂=-

k+2

k

，x₁x₂=

1

4

，
∵

1

x1

+

1

x2

=0，
∴

- k+2 k

1 4

=0，解得k=-2，
而k≥-1且k≠0，
∴不存在實數k，使

1

x1

+

1

x2

=0成立．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根．也考查了一元二次方程根與系數的關系．