Question

8．如圖，已知在平面直角坐標系中，A（0，-1）、B（-2，0）、C（4，0）
（1）求△ABC的面積；
（2）在y軸上是否存在一個點D，使得△ABD是以AB為底的等腰三角形，若存在，求出點D坐標；若不存，說明理由．
（3）有一個P（-4，a），使得S_△PAB=S_△ABC，請你求出a的值．

Answer 1

分析 （1）根據AO=1，BC=6，求得△ABC的面積；
（2）設D（0，a），則AD=1+a，OD=a，根據BD=AD=1+a，∠BOD=90°，可得Rt△BOD中，OD²+OB²=BD²，即a²+2²=（a+1）²，進而得出點D坐標；
（3）分兩種情況進行討論，點P在第二象限或第三象限內，根據S_△PAB=S_△ABC，求出a的值．

解答 解：（1）∵A（0，-1）、B（-2，0）、C（4，0），
∴AO=1，BC=6，
∴△ABC的面積=$\frac{1}{2}$×6×1=3；

（2）存在一個點D，使得△ABD是以AB為底的等腰三角形．
如圖所示，設D（0，a），則AD=1+a，OD=a，
∵BD=AD=1+a，∠BOD=90°，
∴Rt△BOD中，OD²+OB²=BD²，
∴a²+2²=（a+1）²，
解得a=$\frac{3}{2}$，
∴D（0，$\frac{3}{2}$）；

（3）在x軸負半軸上取點D（-4，0），過D作x軸的垂線l，則點P在該垂線l上，
過C作CP∥AB，交l于點P，則S_△PAB=S_△ABC，
∵A（0，-1）、B（-2，0），
∴直線AB的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x-1，
設直線CP解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+b，
把C（4，0）代入，可得
0=-2+b，
解得b=2，
∴直線CP解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+2，
∴F（0，2），
當x=-4時，y=2+2=4，
∴P（-4，4）；
當點P'在x軸下方時，設過P'且平行于AB的直線交y軸于E，則AE=AF=3，
∴OE=4，即E（0，-4），
∴直線P'E解析式為y=-$\frac{1}{2}$x-4，
當x=-4時，y=2-4=-2，
∴P'（-4，-2），
∴a的值為4或-2．

點評 本題主要考查了等腰三角形的性質以及坐標與圖形性質，解決問題的關鍵是根據勾股定理列出方程進行求解．解題時注意分類思想的運用．