Question

如圖所示，⊙與⊙外切于點O，以直線為x軸，點O為坐標原點，建立平面直角坐標系，直線AB切⊙于點B，切⊙于A，交y軸于點C(0，2)，交x軸于點M，BO的延長線交⊙于D，且OB∶OD=1∶3．

(1)求⊙半徑的長．

(2)求直線AB的解析式．

(3)在直線上是否存在點P，使△MP與△MOB相似？若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：略
解析：

解：如圖所示， (1)連接B、OA，AD，過點作E⊥AD于E． ∵AB是⊙和⊙的外公切線，y軸是⊙與⊙的內公切線， ∴CA=CO=CB=2，∴CO=AB，∴△AOB是直角三角形， ∴∠AOD=90°，AB=4．∴AD是⊙的直徑，AD過圓心． 設B=r，D=R．∵AB是⊙與⊙的公切線， ∴B⊥AB，A⊥AB，∴B∥DA．∵OB∶OD=1∶3， ∴B∶D=OB∶OD=1∶3，即r∶R=1∶3，即R=3r． ∵∠AB=∠EAB=∠EA=90°，∴四邊形ABE是矩形． ∴E=AB=4，AE=B=r，E=R－r=2r． 在Rt△E中，由勾股定理，得．即 ， ∴．∴．∴．即⊙的半徑為． (2)設直線AB的解析式為y=kx＋b．∵E∥AB，設∠Amx=α，則α=∠E．∴直線AB的斜率k=tanα=tan∠E= ，即k=．∴α=30°．∵直線AB過C(0，2)點，∴直線AB的截距b=2，∴直線AB的解析式為． (3)存在P點，使△MP∽△MOB．第一種情況：P∥OB，這時△MP∽△MOB．∵P∥OB，又是AD中點，∴P是AB中點． 此時P點與C點重合，∴P點(0，2)． 第二種情況：與OB不平行，要使△M∽△MOB，需 ．∵Rt△MCO中，OC=CB=2，∠M=30°，∴MC=4． ∴MB=2，MO=．∵O=R=，∴M=．∴． ∴M=12．∴A=6．在Rt△A中，tan∠=． ∴∠=30°．又∠M=30°，∴∠M=120°．∴∠x=60°．設直線的解析式為 則，把代入①式得， ∴直線為y=，與直線M聯立方程組，得 解之，得點坐標(，6)． 綜上：(1)⊙的半徑為； (2)直線AB解析式：； (3)若使△MP∽△MOB，得出P(0，2)和(，6)．