Question

14．如圖，△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，交AC于點E．
（1）求證：BD=DC；     
（2）若EC=1，CD=2，求⊙O的半徑；    
（3）若∠A=30°，連接DE，過點B作BF∥DE，交⊙O于點F，連接OF，則∠BOF的度數是90°．

Answer 1

分析 （1）連接BD，根據圓周角定理得到AD⊥BC，根據等腰三角形的性質證明即可；
（2）連接BE，根據圓周角定理、相似三角形的判定定理得到△BEC∽△ADC，根據相似三角形的性質列出比例式，計算即可；
（3）根據等腰三角形的性質得到∠ABC=∠C=75°，根據直角三角形的性質得到DE=DB，根據平行線的性質、等腰三角形的性質計算即可．

解答 （1）證明：如圖1，連接BD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴AD⊥BC，又AB=AC，
∴BD=DC；
（2）解：如圖2，連接BE，
∵CD=2，
∴BC=2CD=4，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°，又AD⊥BC，
∴△BEC∽△ADC，
∴$\frac{EC}{DC}$=$\frac{BC}{AC}$，即$\frac{1}{4}$=$\frac{4}{AC}$，
解得，AC=16，
∴⊙O的半徑=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$AC=8；
（3）解：∵∠A=30°，
∴∠ABC=∠C=75°，
∴∠EBC=15°，
在Rt△BEC中，D為BC的中點，
∴DE=DB，
∴∠DEB=∠EBC=15°，
∵BF∥DE，
∴∠FBE=∠DEB=15°，
∴∠OBF=45°，又OB=OF，
∴∠BOF=90°，
故答案為：90°．

點評 本題考查的是圓周角定理、相似三角形的判定和性質的應用，掌握圓周角定理及其推論、靈活運用相似三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵．