Question

8．已知：如圖所示，在邊長為4的等邊△ABC中，AD為BC邊上的中線，且AD=2$\sqrt{3}$，以AD為一邊向左作等邊△ADE．
（1）求：△ABC的面積；
（2）判斷AB與DE的位置關系是什么？請予以證明．

Answer 1

分析 （1）根據等邊三角形的性質，可知∠DAC=30°，在RtADC中求出DC，再根據BC=2DC，由此即可解決問題．
（2）通過計算只要證明∠AFD=90°即可．

解答 （1）解：∵△ABC是等邊三角形，且AD為BC邊上的中線
∴AD⊥BC（三線合一），∠BAD=∠DAC=30°，
在Rt△ADC中，∵AD=2$\sqrt{3}$，∴CD=BD=2，
∴BC=4，
∴△ABC的面積=$\frac{1}{2}$×4×2$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$

（2）解：AB與DE的位置關系是AB⊥DE，理由如下：
∵△ADE是等邊三角形
∴∠ADF=60°
∵△ABC是等邊三角形，AD為BC邊上的中線
∴AD為∠BAC的平分線（三線合一）
∴∠FAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×60°=30°
∴∠AFD=180°-60°-30°=90°
∴AB⊥DE
（說明：或證∠BFD=90°或證∠AFE=90°也可以）

點評 本題考查等邊三角形的性質，解題的關鍵是靈活應用等腰三角形的三線合一，屬于基礎題，中考常考題型．