Question

如圖，AD∥BC，∠D=90°．
（1）如圖1，若∠DAB的平分線與∠CBA的平分線交于點P，試問：點P是線段CD的中點嗎？為什么？
（2）如圖2，如果P是DC的中點，BP平分∠ABC，∠CPB=35°，求∠PAD的度數為多少？

Answer 1

考點：角平分線的性質,全等三角形的判定與性質

專題：

分析：（1）過點P作PE⊥AB于E，根據平行線的性質求出∠C=90°，即PC⊥BC，再根據角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得PD=PE，PC=PE，從而得到PC=PD，然后根據線段中點的定義解答；
（2）過點P作PE⊥AB于E，根據平行線的性質求出∠C=90°，即PC⊥BC，利用AAS證明△PBE≌△PBC，得出∠EPB=∠CPB=35°，PE=PC，由PC=PD，等量代換得到PD=PE，再根據HL證明Rt△PAD≌Rt△PAE，得出∠APD=∠APE=55°，那么∠PAD=90°-∠APD=35°．

解答： 解：（1）點P是線段CD的中點．理由如下：
過點P作PE⊥AB于E，
∵AD∥BC，∠D=90°，
∴∠C=180°-∠D=90°，即PC⊥BC，
∵∠DAB的平分線與∠CBA的平分線交于點P，
∴PD=PE，PC=PE，
∴PC=PD，
∴點P是線段CD的中點；

（2）過點P作PE⊥AB于E，
∵AD∥BC，∠D=90°，
∴∠C=180°-∠D=90°，即PC⊥BC．
在△PBE與△PBC中，

∠PEB=∠C ∠PBE=∠PBC PB=PB

，
∴△PBE≌△PBC（AAS），
∴∠EPB=∠CPB=35°，PE=PC，
∵PC=PD，
∴PD=PE，
在Rt△PAD與Rt△PAE中，

PA=PA PD=PE

，
∴Rt△PAD≌Rt△PAE（HL），
∴∠APD=∠APE，
∵∠APD+∠APE=180°-2×35°=110°，
∴∠APD=55°，
∴∠PAD=90°-∠APD=35°．

點評：本題考查了角平分線的性質，全等三角形的判定與性質，平行線的性質，熟記性質并作出輔助線是解題的關鍵．