Question

15．某農莊計劃在30畝空地上全部種植蔬菜和水果，菜農小張和果農小李分別承包了種植蔬菜和水果的任務，小張種植每畝蔬菜的工資y（元）與種植面積m（畝）之間的函數關系如圖①所示，小李種植水果所得報酬z（元）與種植面積n（畝）之間的函數關系如圖②所示
（1）如果種植蔬菜20畝，則小張種植每畝蔬菜的工資是140元，小張應得的工資總額是2800元，此時，小李種植水果10畝，小李應得的報酬是1500元；
（2）設農莊支付給小張和小李的總費用為W（元），當10＜m＜30時，求W與m之間的函數關系式，并求出總費用最大為多少？

Answer 1

分析 （1）根據圖象數據解答即可；
（2）設z=kn+b（k≠0），然后利用待定系數法求一次函數解析式即可；
（3）先求出20＜m≤30時y與m的函數關系式，再分①10＜m≤20時，10＜n≤20；②20＜m≤30時，0＜n≤10兩種情況，根據總費用等于兩人的費用之和列式整理即可得解．

解答 解：（1）由圖可知，如果種植蔬菜20畝，則小張種植每畝蔬菜的工資是$\frac{1}{2}$（160+120）=140元，
小張應得的工資總額是：140×20=2800元，
此時，小李種植水果：30-20=10畝，
小李應得的報酬是1500元；
故答案為：140；2800；10；1500；

（2）當10＜n≤30時，設z=kn+b（k≠0），
∵函數圖象經過點（10，1500），（30，3900），
∴$\left\{\begin{array}{l}{10k+b=1500}\\{30k+b=3900}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{k=120}\\{b=300}\end{array}\right.$，
所以，z=120n+300（10＜n≤30）；

（3）當10＜m≤30時，設y=km+b，
∵函數圖象經過點（10，160），（30，120），
∴$\left\{\begin{array}{l}{10k+b=160}\\{30k+b=120}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=180}\end{array}\right.$，
∴y=-2m+180，
∵m+n=30，
∴n=30-m，
∴①當10＜m≤20時，10≤n＜20，
w=m（-2m+180）+120n+300，
=m（-2m+180）+120（30-m）+300，
=-2m²+60m+3900，
②當20＜m≤30時，0＜n≤10，
w=m（-2m+180）+150n，
=m（-2m+180）+150（30-m），
=-2m²+30m+4500，
所以，w與m之間的函數關系式為w=$\left\{\begin{array}{l}{-2{m}^{2}+60m+3900（10＜m≤20）}\\{-2{m}^{2}+30m+4500（20＜m≤30）}\end{array}\right.$．
∵w=-2m²+60m+3900=-2（x-15）²+4350；
w=-2m²+30m+4500=-2（x-$\frac{15}{2}$）²+4612.5，
∴w的最大值為4612.5（元）．
∴總費用最大為4612.5元．

點評 本題考查了一次函數的應用，主要利用了待定系數法求一次函數解析式，（3）難點在于要分情況討論并注意m、n的取值范圍的對應關系，這也是本題最容易出錯的地方．