Question

11．如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點E，F，M，N分別為OA，OB，OC，OD的中點，連接EF，FM，MN，NE．
（1）依題意，補全圖形；
（2）求證：四邊形EFMN是矩形；
（3）連接DM，若DM⊥AC于點M，ON=3，求矩形ABCD的面積．

Answer 1

分析 （1）根據題目要求畫出圖形即可；
（2）根據三角形中位線定理可得EF∥AB，EF=$\frac{1}{2}$AB，NM∥CD，MN=$\frac{1}{2}$DC，再由矩形的性質可得AB∥DC，AB=DC，AC=BD，進而可得四邊形EFMN是矩形；
（3）根據條件可得DM垂直平分OC，進而可得DO=CO，然后證明△COD是等邊三角形，進而得出BC，CD的長，進而得出答案．

解答 （1）解：如圖所示：

（2）證明：∵點E，F分別為OA，OB的中點，
∴EF∥AB，EF=$\frac{1}{2}$AB，
同理：NM∥CD，MN=$\frac{1}{2}$DC，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥DC，AB=DC，AC=BD，
∴EF∥NM，EF=MN，
∴四邊形EFMN是平行四邊形，
∵點E，F，M，N分別為OA，OB，OC，OD的中點，
∴EO=$\frac{1}{2}$AO，MO=$\frac{1}{2}$CO，
在矩形ABCD中，AO=CO=$\frac{1}{2}$AC，BO=DO=$\frac{1}{2}$BD，
∴EM=EO+MO=$\frac{1}{2}$AC，
同理可證FN=$\frac{1}{2}$BD，
∴EM=FN，
∴四邊形EFMN是矩形．

（3）解：∵DM⊥AC于點M，
由（2）MO=$\frac{1}{2}$CO，
∴DO=CD，
在矩形ABCD中，
AO=CO=$\frac{1}{2}$AC，BO=DO=$\frac{1}{2}$BD，AC=BD，
∴AO=BO=CO=DO，
∴△COD是等邊三角形，
∴∠ODC=60°，
∵MN∥DC，
∴∠FNM=∠ODC=60°，
在矩形EFMN中，∠FMN=90°．
∴∠NFM=90°-∠FNM=30°，
∵NO=3，
∴FN=2NO=6，FM=3$\sqrt{3}$，MN=3，
∵點F，M分別為OB，OC的中點，
∴BC=2FM=6$\sqrt{3}$，
∴矩形的面積為BC•CD=36$\sqrt{3}$．

點評 此題主要考查了矩形的判定與性質以及等邊三角形的判定與性質、勾股定理等知識，正確得出△COD是等邊三角形是解題關鍵．