Question

3．如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交線段BC，AC于點D，E，過點D作DF⊥AC，垂足為F，線段FD，AB的延長線相交于點G．
（1）求證：DF是⊙O的切線；
（2）若CF=1，DF=$\sqrt{3}$，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）連接AD、OD，由AB為直徑可得出點D為BC的中點，由此得出OD為△BAC的中位線，再根據(jù)中位線的性質(zhì)即可得出OD⊥DF，從而證出DF是⊙O的切線；
（2）CF=1，DF=$\sqrt{3}$，通過解直角三角形得出CD=2、∠C=60°，從而得出△ABC為等邊三角形，再利用分割圖形求面積法即可得出陰影部分的面積．

解答 （1）證明：連接AD、OD，如圖所示．
∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AC=AB，
∴點D為線段BC的中點．
∵點O為AB的中點，
∴OD為△BAC的中位線，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切線．
（2）解：在Rt△CFD中，CF=1，DF=$\sqrt{3}$，
∴tan∠C=$\frac{DF}{CF}$=$\sqrt{3}$，CD=2，
∴∠C=60°，
∵AC=AB，
∴△ABC為等邊三角形，
∴AB=4．
∵OD∥AC，
∴∠DOG=∠BAC=60°，
∴DG=OD•tan∠DOG=2$\sqrt{3}$，
∴S_陰影=S_△ODG-S_扇形OBD=$\frac{1}{2}$DG•OD-$\frac{60}{360}$πOB²=2$\sqrt{3}$-$\frac{2}{3}$π．

點評 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、切線的判定、扇形面積的計算以及三角形面積的計算，解題的關(guān)鍵是：（1）證出OD⊥DF；（2）利用分割圖形求面積法求出陰影部分的面積．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，利用分割圖形求面積法求面積是解題的難點，在日常練習(xí)中應(yīng)加強訓(xùn)練．