Question

14．如圖所示，已知在矩形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，點P是AD上任意一點，PE⊥AC于點E，PF⊥BD于點F，AB=3，BC=4，則PE+PF的值是否會變化？若不變化，請加以證明；若變化，請說明理由．

Answer 1

分析 首先連接OP．由矩形ABCD的兩邊AB=3，BC=4，可求得OA=OD=$\frac{5}{2}$，然后由S_△AOD=S_△AOP+S_△DOP求得答案．

解答 解：不會變化；理由如下：
連接OP，
∵矩形ABCD的兩邊AB=3，BC=4，
∴S_矩形ABCD=AB•BC=12，OA=OC，OB=OD，AC=BD，AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
∴S_△AOD=$\frac{1}{4}$S_矩形ABCD=3，OA=OD=$\frac{5}{2}$，
∴S_△AOD=S_△AOP+S_△DOP=$\frac{1}{2}$OA•PE+$\frac{1}{2}$OD•PF=$\frac{1}{2}$OA（PE+PF）=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$×（PE+PF）=3，
∴PE+PF=$\frac{12}{5}$．

點評 此題考查了矩形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．