Question

19．已知關(guān)于x的一元二次方程（x-1）（x-4）=p²，p為實(shí)數(shù)．
（1）求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）試說明，方程的根不可能是3．

Answer 1

分析 （1）首先把原方程轉(zhuǎn)化為一般式，然后用p表示出根的判別式，最后利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)作出判斷；
（2）假設(shè)方程的根是3，得到一個(gè)數(shù)的平方是負(fù)數(shù)，進(jìn)而作出判斷．

解答 （1）證明：已知方程化為：
x²-5x+（4-p²）=0，
∴△=（-5）²-4×1×（4-p²）=4p²+9，
∵p為實(shí)數(shù)，
∴4p²+9＞0，
∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）解：若方程有一根為3，
則p²=（3-1）（3-4）=-2，
這與一個(gè)實(shí)數(shù)的平方根是非負(fù)數(shù)矛盾，
即原方程的根不可能是3．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了跟的判別式的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，此題難度不大．