Question

3．如圖1，在△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，D是線段AC中點，E是線段AD上一點，過點D作DF⊥BE交BE的延長錢于點F，連接AF，過點A作AG⊥AF于點A，交BF于點G
（1）若∠ABE=∠C，BC=2$\sqrt{5}$，則AE=1；
（2）若點E為AD中點，求證：GE-FE=FD；
（3）如圖2，連接BD，點N為BD中點，連接GN，若AD=GF，請直接寫出NG、GE、EA的數量關系．

Answer 1

分析 （1）先根據勾股定理，求得Rt△ABC的直角邊長，再根據相似三角形的性質，得出AB²=AE×AC，進而得到AE長；
（2）過A作AH⊥BF于H，則∠AHE=90°，先判定△ABG≌△ADF（ASA），得出AG=AF，進而得到△AGF是等腰直角三角形，再判定△AEH≌△DEF（AAS），得出EH=EF，AH=DF=GH，最后根據GE-HE=GH，可得GE-FE=FD；
（3）連接AN，NF，根據等腰Rt△AGF與等腰Rt△ADN全等，得出AG=AF=AN=ND，再判定△ANF是等邊三角形，得出∠NAF=∠ANF=60°，最后通過判定△ANG≌△NDF（SAS），得出GN=FD=BG，再根據BG+GE=BE=2AE，即可得到NG+GE=2AE．

解答 解：（1）∵△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，BC=2$\sqrt{5}$，
∴由勾股定理可得AB=2，AC=4，
∵∠ABE=∠C，∠BAE=∠CAB=90°，
∴△BAE∽△CAB，
∴AB²=AE×AC，即2²=AE×4，
解得AE=1，
故答案為：1；

（2）證明：如圖1，過A作AH⊥BF于H，則∠AHE=90°，
∵DF⊥BE，∠BAC=90°，∠AEB=∠FED，
∴∠ABG=∠ADF，
∵AG⊥AF，∠BAC=90°，
∴∠BAG=∠DAF，
∵AC=2AB，D是線段AC中點，
∴AB=AD，
在△ABG和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABG=∠ADF}\\{AB=AD}\\{∠BAG=∠DAF}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△ADF（ASA），
∴AG=AF，
∴△AGF是等腰直角三角形，
∴AH=$\frac{1}{2}$GF=GH，
∵點E為AD中點，
∴AE=DE，
在△AEH和△DEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AHE=∠DFE}\\{∠AEH=∠DEF}\\{AE=DE}\end{array}\right.$，
∴△AEH≌△DEF（AAS），
∴EH=EF，AH=DF=GH，
∵GE-HE=GH，
∴GE-FE=FD；

（3）NG、GE、EA的數量關系為：NG+GE=2AE．
理由：如圖2，連接AN，NF，
由（2）可得，△AGF是等腰直角三角形，
∵AB=AD，∠BAD=90°，N是BD的中點，
∴∠DAN=45°=∠ADN，
∴△ADN是等腰直角三角形，
∵AD=GF，
∴等腰Rt△AGF與等腰Rt△ADN全等，
∴AG=AF=AN=ND，
∵Rt△BDF中，N是BD的中點，
∴NF=ND=BN，
∴AN=NF=AF，
即△ANF是等邊三角形，
∴∠NAF=∠ANF=60°，
∵∠DAN=45°，△ABG≌△ADF，
∴∠DAF=15°=∠BAG，
∵∠ABN=∠BAN=45°，
∴∠GAN=30°，
∵∠AGF=45°，
∴∠ABE=30°，
∴Rt△ABE中，BE=2AE，
∵∠ABN=45°，
∴∠GBN=15°，
由NF=ND=NB，可得∠FND=2∠GBN=30°，
在△ANG和△NDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=NF}\\{∠GAN=∠FND}\\{AN=ND}\end{array}\right.$，
∴△ANG≌△NDF（SAS），
∴GN=FD=BG，
∵BG+GE=BE=2AE，
∴NG+GE=2AE．

點評 本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質以及含30°角的直角三角形的性質的綜合應用，解決問題的關鍵是作輔助線構造全等三角形、等腰直角三角形以及等邊三角形，依據全等三角形的對應邊相等或相似三角形的對應邊成比例進行求解．解題時注意，在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．