Question

13．如圖，已知在△ABC中，BD是角平分線，∠C=90°，∠ABC=∠BAC，O是邊BD上一點，OM⊥BC于點M，ON⊥AC于點N，且OM=ON，過點O作OP⊥AB于點P．
（1）求∠ABD的度數；
（2）求證：AO平分∠BAC；
（3）判斷BM與AN之間的數量關系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據△ABC是等腰直角三角形，BD是角平分線可得∠ABD的度數為22.5°；
（2）根據角平分線的性質定理以及它的逆定理，可得AO平分∠BAC；
（3）根據∠OAP=∠OBP=22.5°，可得AO=BO，再根據HL即可判定Rt△BOM≌Rt△AON，進而得出AN=BM．

解答 解：（1）∵△ABC中，∠C=90°，
∴∠ABC=∠BAC=45°，
又∵BD是角平分線
∴∠ABD的度數為22.5°；

（2）證明：∵OB平分∠CBA，OM⊥BC，OP⊥AB，
∴OM=OP，
∵OM=ON，
∴ON=OP，
又∵ON⊥AC，OP⊥AB，
∴AO平分∠BAC；

（3）BM與AN之間的數量關系：BM=AN．
理由：∵AO平分∠BAC，
∴∠OAP=22.5°，
又∵∠ABD的度數為22.5°，
∴∠OAP=∠OBP，
∴AO=BO，
又∵OM=ON，
∴在Rt△BOM和Rt△AON中，
$\left\{\begin{array}{l}{AO=BO}\\{OM=ON}\end{array}\right.$，
∴Rt△BOM≌Rt△AON（HL），
∴AN=BM．

點評 本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質，角平分線的性質以及三角形內角和定理的綜合應用，解決問題的關鍵是掌握：角的內部到角兩邊距離相等的點在這個角的平分線上．