Question

18．已知⊙O，AB是直徑，AB=4，弦CD⊥AB且過OB的中點，P是劣弧BC上一動點，DF垂直AP于F，則P從C運動到B的過程中，F運動的路徑長度（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{3}$π
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{2}{3}$π
• D． 2

Answer 1

分析 作DQ⊥AC于Q，如圖，當P點在C點時，F點與Q重合；當P點在B點時，F點與E點重合，利用圓周角定理的推論判斷點F在以AD為直徑的圓上，則點F運動的路徑為$\widehat{QE}$，再計算MQ的長度和∠QME的度數，然后根據弧長公式計算F運動的路徑長度．

解答 解：作DQ⊥AC于Q，如圖，
當P點在C點時，F點與Q重合；當P點在B點時，F點與E點重合，
∵∠AFD=90°，
∴點F在以AD為直徑的圓上，
∴點F運動的路徑為$\widehat{QE}$，
∵弦CD⊥AB且過OB的中點，
∴OE=$\frac{1}{2}$OD，CE=DE=$\sqrt{3}$，AC=AC=2$\sqrt{3}$，
∴∠DOE=60°，
∴∠DAC=60°，
∴△ACD為等邊三角形，
∴MQ和ME為中位線，
∴MQ=$\sqrt{3}$，∠QME=60°，
∴F運動的路徑長度=$\frac{60•π•\sqrt{3}}{180}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故選A．

點評 本題考查了軌跡：點按一定規律運動所形成的圖形叫這個點運動的軌跡．也考查了垂徑定理和圓周角定理．