Question

9．已知，直線y=2x+3與直線y=-2x-1．
（1）求兩直線與y軸交點A、B的坐標；
（2）求兩直線交點C的坐標；
（3）求三角形ABC的面積．
（4）若平面直角坐標系內存在一點D，使得點A、B、C、D能構成平行四邊形，求滿足條件的點D的坐標．（無需過程，直接寫答案）

Answer 1

分析 （1）分別令各自函數表達式中的x=0，即可求出對應y值，則兩直線與y軸交點A、B的坐標可求出；
（2）聯立兩個一次函數的解析式，解方程組即可求出兩直線交點C的坐標；
（3）由（1）可求出AB的長，由（2）可知點C的橫坐標絕對值即為邊AB上的高，由三角形面積公式計算即可；
（4）點D的位置不確定，要分兩種情況分別討論，一是當AB、CD為平行四邊形的對角線時；二是當BC、AD為平行四邊形的對角線時，再利用平行四邊形的性質求出點D的坐標即可．

解答 解：（1）∵直線y=2x+3，
∴當x=0，y=3，
即點A的坐標為（0，3），
同理可求得點B的坐標是（0，-1）；
（2）聯立兩個一次函數的解析式得：
$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+3}\\{y=-2x-1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴點C的坐標是（-1.1）；
（3）∵點A（0，3），點B（0，-1），
∴AB=4，
∵點C的橫坐標絕對值=1，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×4×1=2；
（4）①當AB、CD為平行四邊形的對角線時，
∵點A（0，3），點B（0，-1），
∴線段AB的中點坐標是（0，1），
∵點C的坐標是（-1，1），
設點D的坐標為（x，y），
∴0=$\frac{x-1}{2}$，
解得：x=1，
同理可得y=1，
∴點D的坐標為（1，1）；
②當BC、AD為平行四邊形的對角線時，由①可知點D的坐標為（-1，-1）．

點評 本題綜合考查了一次函數與幾何知識的應用，其中牽扯到的知識點有平行四邊形的性質、三角形面積公式的運用以及兩條直線相交的問題，熟悉函數圖象上點的坐標特征是解題的關鍵．