Question

20．閱讀材料：
在學習解一元二次方程以后，對于某些不是一元二次方程的方程，我們可通過變形將其轉化為一元二次方程來解．例如：
解方程：x²-3|x|+2=0．
解：設|x|=y，則原方程可化為：y²-3y+2=0．
解得：y₁=1，y₂=2．
當y=1時，|x|=1，∴x=±1；
當y=2時，|x|=2，∴x=±2．
∴原方程的解是：x₁=1，x₂=-1，x₃=2，x₄=-2．
上述解方程的方法叫做“換元法”．請用“換元法”解決下列問題：
（1）解方程：x⁴-10x²+9=0．
（2）解方程：$\frac{x+1}{{x}^{2}}$-$\frac{2{x}^{2}}{x+1}$=1．
（3）若實數x滿足x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$-3x-$\frac{3}{x}$=2，求x+$\frac{1}{x}$的值．

Answer 1

分析 （1）設x²=a，則原方程可化為a²-10a+9=0，求得a的值之后，繼而可得x²=1或x²=9，解之即可；
（2）設$\frac{x+1}{{x}^{2}}$=m，則原方程可化為m-$\frac{2}{m}$=1，即m²-m-2=0，求得m的值后，即可得$\frac{x+1}{{x}^{2}}$=-1、$\frac{x+1}{{x}^{2}}$=2，解之即可；
（3）設x+$\frac{1}{x}$=y，則原方程可化為：y²-2-3y=2，即y²-3y-4=0，解之求得y之后，即可得x²+x+1=0或x²-4x+1=0，分別求解即可．

解答 解：（1）設x²=a，則原方程可化為a²-10a+9=0，
即（a-1）（a-9）=0，
解得：a=1或a=9，
當a=1時，x²=1，∴x=±1；
當a=9時，x²=9，∴x=±3；

（2）設$\frac{x+1}{{x}^{2}}$=m，則原方程可化為m-$\frac{2}{m}$=1，即m²-m-2=0，
∴（m+1）（m-2）=0，
解得：m=-1或m=2，
當m=-1時，$\frac{x+1}{{x}^{2}}$=-1，即x²+x+1=0，由△=1-4×1×1=-3＜0知此時方程無解；
當m=2時，$\frac{x+1}{{x}^{2}}$=2，即2x²-x-1=0，解得：x=1或x=-$\frac{1}{2}$，
經檢驗x=1和x=-$\frac{1}{2}$都是原分式方程的解；

（3）設x+$\frac{1}{x}$=y，則原方程可化為：y²-2-3y=2，即y²-3y-4=0，
∴（y+1）（y-4）=0，
解得：y=-1或y=4，
當x+$\frac{1}{x}$=-1，即x²+x+1=0，由△=1-4×1×1=-3＜0知此時方程無解；
當x+$\frac{1}{x}$=4，即x²-4x+1=0，解得：x=2$±\sqrt{3}$，
經檢驗x=2±$\sqrt{3}$是原分式方程的解．

點評 本題主要考查換元法解方程，把某個式子看作一個整體，用一個字母去代替它，實行等量替換是解題的關鍵．