Question

11．如圖，S_△ABC=1，AM=MC，BP=PQ=QC，求陰影部分的面積．

Answer 1

分析 S_△ABC=1、AM=MC、BP=PQ=QC知S_△ABM=S_△BCM=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{1}{2}$、S_△APQ=S_△ABP=S_△AQC=$\frac{1}{3}$S_△ABC=$\frac{1}{3}$，連接QM，知QM為△ACP的中位線，則AP=2MQ，MQ∥AP，從而得BE=EM、MQ=2EP，設BE=a，EP=b，則EM=a、MQ=2b、AP=4b，由AE∥MQ知$\frac{EF}{MF}=\frac{AE}{QM}$=$\frac{3b}{2b}=\frac{3}{2}$，從而得出EF=$\frac{3}{5}$a、FG=$\frac{2}{5}a$，則BE：EF：FG=a：$\frac{3}{5}$a：$\frac{2}{5}$a=5：3：2，繼而得出S_△AEF=$\frac{3}{10}$S_△ABM=$\frac{3}{10}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{20}$，根據S_陰影=S_△APQ-S_△AEF可得答案．

解答 解：∵S_△ABC=1，AM=MC，BP=PQ=QC，
∴S_△ABM=S_△BCM=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{1}{2}$，
S_△APQ=S_△ABP=S_△AQC=$\frac{1}{3}$S_△ABC=$\frac{1}{3}$，
連接QM，

∵PQ=QC，AM=CM，
∴QM為△ACP的中位線，
則AP=2MQ，MQ∥AP．
∵EP∥MQ，
∴$\frac{BE}{EM}=\frac{BP}{PQ}$=1，$\frac{EP}{MQ}=\frac{BP}{BQ}=\frac{1}{2}$，即BE=EM，MQ=2EP，
設BE=a，EP=b，
則EM=a，MQ=2b，AP=4b，
∴AE=3b，
∵AE∥MQ，
∴$\frac{EF}{MF}=\frac{AE}{QM}$=$\frac{3b}{2b}=\frac{3}{2}$，
∴EF=$\frac{3}{5}$a，FG=$\frac{2}{5}a$，
∴BE：EF：FG=a：$\frac{3}{5}$a：$\frac{2}{5}$a=5：3：2，
∴S_△AEF=$\frac{3}{10}$S_△ABM=$\frac{3}{10}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{20}$，
則S_陰影=S_△APQ-S_△AEF=$\frac{1}{3}$-$\frac{3}{20}$=$\frac{11}{60}$．

點評 本題主要考查三角形的面積即平行線分線段成比例定理，熟練掌握等底共高時三角形面積間的關系及平行線分線段成比例定理是解題的關鍵．