Question

11．如圖1．拋物線y=-x²+bx+c經過點A（-3.0），點C（0，3）．點D為拋物線的頂點．拋物線的對稱軸DE交x軸于點E．

（1 ）求拋物線的解析式．
（2）在DE上求點P到AD的距離與到x軸的距離相等．
（3）如圖2．在DE的左側拋物線上求點F，使S_△FBC=$\frac{3}{2}$S_△EBC．

Answer 1

分析 （1）把A、C兩點坐標代入可求得b、c，可求得拋物線解析式；
（2）當點P在∠DAB的平分線上時，過P作PM⊥AD，設出P點坐標，可表示出PM、PE，由角平分線的性質可得到PM=PE，可求得P點坐標；當點P在∠DAB外角平分線上時，同理可求得P點坐標；
（3）可先求得△FBC的面積，過F作FQ⊥x軸，交BC的延長線于Q，可求得FQ的長，可設出F點坐標，表示出B點坐標，從而可表示出FQ的長，可求得F點坐標．

解答 解：（1）∵二次函數y=-x²+bx+c經過點A（-3，0），點C（0，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{-9-3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式y=-x²-2x+3；

（2）當P在∠DAB的平分線上時，如圖1，作PM⊥AD，

設P（-1，m），則PM=PD•sin∠ADE=$\frac{\sqrt{5}}{5}$（4-m），PE=m，
∵PM=PE，
∴$\frac{\sqrt{5}}{5}$（4-m）=m，m=$\sqrt{5}$-1，
∴P點坐標為（-1，$\sqrt{5}$-1）；
當P在∠DAB的外角平分線上時，如圖2，作PN⊥AD，

設P（-1，n），則PN=PD•sin∠ADE=$\frac{\sqrt{5}}{5}$（4-n），PE=-n，
∵PN=PE，
∴$\frac{\sqrt{5}}{5}$（4-n）=-n，n=-$\sqrt{5}$-1，
∴P點坐標為（-1，-$\sqrt{5}$-1）；
綜上可知存在滿足條件的P點，其坐標為（-1，$\sqrt{5}$-1）或（-1，-$\sqrt{5}$-1）；

（3）∵拋物線的解析式y=-x²-2x+3，
∴B（1，0），
∴S_△EBC=$\frac{1}{2}$EB•OC=3，
∵2S_△FBC=3S_△EBC，
∴S_△FBC=$\frac{9}{2}$，
過F作FQ⊥x軸于點H，交BC的延長線于Q，過F作FM⊥y軸于點M，如圖3，

∵S_△FBC=S_△BQH-S_△BFH-S_△CFQ
=$\frac{1}{2}$HB•HQ-$\frac{1}{2}$BH•HF-$\frac{1}{2}$QF•FM
=$\frac{1}{2}$BH（HQ-HF）-$\frac{1}{2}$QF•FM
=$\frac{1}{2}$BH•QF-$\frac{1}{2}$QF•FM
=$\frac{1}{2}$QF•（BH-FM）
=$\frac{1}{2}$FQ•OB
=$\frac{1}{2}$FQ
=$\frac{9}{2}$，
∴FQ=9，
∵BC的解析式為y=-3x+3，
設F（x₀，-x₀²-2x₀+3），
∴-3x₀+3+x₀²+2x₀-3=9，
解得：x₀=$\frac{1-\sqrt{37}}{2}$或$\frac{1+\sqrt{37}}{2}$（舍去），
∴點F的坐標是（$\frac{1-\sqrt{37}}{2}$，$\frac{3\sqrt{37}-15}{2}$），
∵S_△ABC=6＞$\frac{9}{2}$，
∴點F不可能在A點下方，
綜上可知F點的坐標為（$\frac{1-\sqrt{37}}{2}$，$\frac{3\sqrt{37}-15}{2}$）．

點評 本題主要考查二次函數的綜合應用，涉及待定系數法、角平分線的性質、三角函數、三角形面積等知識點．在（1）中注意待定系數法的應用步驟，在（2）中注意分點P在∠DAB的角平分線上和在外角的平分線上兩種情況，在（3）中求得FQ的長是解題的關鍵．