Question

6．如圖，?ABCD中，AB＞BC，∠BAD與∠ADC的平分線交于點E，∠ABC與∠BCD的平分線交于點F．
（1）EF與AB之間有怎樣的位置關系？為什么？
（2）EF，BC與AB之間有怎樣的數量關系？為什么？

Answer 1

分析 （1）根據全等三角形的判定方法，結合題意可得△ADE≌△CBF；進而可得DE=BF，ED=EM；
（2）由（1）易得∠AMD=∠ABF，故EM∥BF進而可得根據平行線的性質可得EF=MB，BC=AD=AM，故有EF+BC=AB；

解答 解：（1）EF∥AB，
理由：延長DE交AB于M，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠ADC=∠ABC，
∵DE，BF分別平分∠ADC，∠ABC，
∴∠CDE=$\frac{1}{2}∠$ADC，∠ABF=$\frac{1}{2}∠$ABC，
∴∠CDE=∠ABF，
∵AB∥CD，
∴∠CDM=∠AMD，
∴∠AMD=∠ABF，
∴EM∥BF，
∵∠ADC+∠BAD=180°，
∵AE、DE分別平分∠DAB和∠ADC
∴AE⊥DM，AE平分∠DAB．
∴ED=EM，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠DAB=∠BCD，
∵AE、CF是角平分線．
∴∠DAE=∠BCF，
在△ADE與△CBF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DAE=∠BCF}\\{AD=BC}\\{∠ADE=∠CBF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CBF
∴DE=BF，ED=EM．
∴BF=EM，
∴四邊形EMBF是平行四邊形，
∴EF∥BM，
即EF∥AB；

（2）EF+BC=AB．
由（1）易證∠AMD=∠ABF，
∴EM∥BF，EM=BF．
∴四邊形EFBM是平行四邊形．
∴EF=MB，BC=AD=AM．
∴EF+BC=AB．

點評 本題考查的是平行四邊形的性質和判定，角平分線的定義，平行線的判定，熟練掌握平行四邊形的判定和性質是解題的關鍵．