Question

8．如圖，△DAC和△EBC均是等邊三角形，AE交BD于P點(diǎn)，AE、BD分別與CD、CE交于點(diǎn)M、N，且A、C、B在同一直線上，有如下結(jié)論：①△ACE≌△DCB；②CM=CN；③∠APD=60°；④∠APC=60°，其中正確個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 4個(gè)
• B． 3個(gè)
• C． 2個(gè)
• D． 1個(gè)

Answer 1

分析 利用邊角邊即可證明△ACE與△DCB全等，然后根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠CAM=∠CDN，再利用角邊角證明△ACM≌△DCN，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CM=CN，DN=AM，同理可證明△BCN≌△ECM，根據(jù)三角形外角性質(zhì)推出∠APD=60°，然后推出點(diǎn)A，C，P，D四點(diǎn)共圓，根據(jù)圓周角定理即可得到∠APC=60°．

解答 解：∵△DAC和△EBC都是等邊三角形，
∴∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠ACE=∠DCB=120°，
在△ACE與△DCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=DC}\\{∠ACE=∠DCB}\\{CB=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△DCB（SAS），故①正確；
∴∠CAM=∠CDN，
在△ACM與△DCN中
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAM=∠CDN}\\{AC=DC}\\{∠ACM=∠DCN=60°}\end{array}\right.$，
∴△ACM≌△DCN（ASA），
∴CM=CN，故②正確；
∵△ACE≌△DCB，
∴∠AEC=∠DBC，
∵∠ECB=60°，
∴∠EAC+∠AEC=∠ECB=60°，
∴∠APD=∠EAC+∠ABP=∠EAC+∠AEC=60°，∴③正確；
∵∠APD=∠ACD=60°，
∴點(diǎn)A，C，P，D四點(diǎn)共圓，
∴∠APC=∠ADC=60°，∴④正確；
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，角平分線性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，題目比較好，綜合性比較強(qiáng)．