Question

9．如圖，已知∠AOB=45°，∠AOB內有一點P，OP=6$\sqrt{2}$，M為射線OA上一動點，N為射線OB上一動點，則PM+MN+PN的最小值為12．

Answer 1

分析 首先分別作點P關于OA、OB的對稱點C、D，連接CD，分別交OA、OB于點M、N，連接OC、OD、PM、PN、MN，易得△OCD是等腰直角三角形，且此時CD的長即為PN+MN+PN的最小值，繼而求得答案．

解答 解：如圖所示：分別作點P關于OA、OB的對稱點C、D，連接CD，分別交OA、OB于點M、N，連接OC、OD、PM、PN、MN，
∵點P關于OA的對稱點為C，關于OB的對稱點為D，
∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；
∵點P關于OB的對稱點為D，
∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，
∴OC=OD=OP=6$\sqrt{2}$，∠COD=2∠AOB=2×45°=90°，
∴CD=$\sqrt{O{C}^{2}+O{D}^{2}}$=12，
∵PN+PM+MN的最小值是12．
故答案為：12．

點評 本題考查了軸對稱的性質、最短路線問題以及等腰三角形的判定與性質．注意準確確定點M，N的位置是關鍵．