Question

18．已知直線L經過點A（-2，0），B（0，3）
（1）求直線L的解析式．
（2）在x軸上有一點P，且△ABP是等腰三角形，求點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）設直線的解析式為y=kx+b（k≠0），把A、B兩點的坐標代入函數解析式，就可得到一個關于k、b的方程組，解方程組求出k、b的值，從而得到解析式；
（2）由條件可求得AB=$\sqrt{13}$，設P點坐標為（x，0），則AP=|x+2|，|BP|=$\sqrt{{3}^{2}{+x}^{2}}$分三種情況，即AB=AP，AB=BP和AP=BP進行分別計算求解x即可．

解答 解：（1）設直線的解析式為y=kx+b（k≠0），
由題意可得方程組$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{\;}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{2}}\\{\;}\\{b=3}\end{array}\right.$，
該直線的函數解析式為y=$\frac{3}{2}$x+3；

（2）∵A（-2，0），B（0，3），
∴AB=$\sqrt{{2}^{2}{+3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
設P點坐標為（x，0），則AP=|x+2|，BP=$\sqrt{{3}^{2}{+x}^{2}}$，
當AP=BP時，則有|x+2|=$\sqrt{9{+x}^{2}}$，解得x=$\frac{5}{4}$，此時P點坐標為（$\frac{5}{4}$，0）；
當AB=BP時，則有$\sqrt{9{+x}^{2}}$=$\sqrt{13}$，解得x=±2，當x=-2時，點P與A點重合（舍去），
所以此時P點坐標為（2，0）；
當AB=AP時，則有|x+2|=$\sqrt{13}$，解得x=-2$±\sqrt{13}$，此時P點坐標為（-2$+\sqrt{13}$，0）或（$-2-\sqrt{13}$，0）；
綜上可知P點坐標為（$\frac{5}{4}$，0）或（2，0）或（-2$+\sqrt{13}$，0）或（$-2-\sqrt{13}$，0）．

點評 本題主要考查等腰三角形的判定，設出P點的坐標表示出AB、AP、BP三邊的長度是解題的關鍵，注意分類討論．