Question

7．如圖，拋物線y=x²+bx+c與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）求該拋物線的對稱軸以及頂點坐標；
（3）設（1）中的拋物線上有一個動點P，且點P在x軸上方．若S_△PAB=8，請求出此時P點的坐標．

Answer 1

分析 （1）由于拋物線y=x²+bx+c與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點，那么可以得到方程x²+bx+c=0的兩根為x=-1或x=3，然后利用根與系數即可確定b、c的值．
（2）把拋物線的解析式化成頂點式即可；
（3）根據S_△PAB=8，求得P的縱坐標，把縱坐標代入拋物線的解析式即可求得P點的坐標

解答 解：
（1）∵拋物線y=x²+bx+c與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點，
∴方程x²+bx+c=0的兩根為x=-1或x=3，
∴-1+3=-b，
-1×3=c，
∴b=-2，c=-3，
∴二次函數解析式是y=x²-2x-3．
（2）∵y=-x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴拋物線的對稱軸直線x=1，頂點坐標（1，-4）．
（3）設P的縱坐標為|y_P|，
∵S_△PAB=8，
∴$\frac{1}{2}$AB•|y_P|=8，
∵AB=3+1=4，
∴|y_P|=4，
∴y_P=±4，
∵點P在x軸上方，∴y_P=4，
把y_P=4代入解析式得，4=x²-2x-3，
解得，x=1±2$\sqrt{2}$，
∴點P在該拋物線上滑動到（1+2$\sqrt{2}$，4）或（1-2$\sqrt{2}$，4）．

點評 此題主要考查了利用拋物線與x軸的交點坐標確定函數解析式，二次函數的對稱軸點的坐標以及二次函數的性質，二次函數圖象上的坐標特征，解題的關鍵是利用待定系數法得到關于b、c的方程，解方程即可解決問題．