Question

3．如圖，在平面直角坐標系中，已知A（7a，0），B（0，-7a），點C為x軸負半軸上一點，AD⊥AB，∠1=∠2．
（1）求∠ABC+∠D的度數；
（2）如圖①，若點C的坐標為（-3a，0），求點D的坐標（結果用含a的式子表示）；
（3）如圖②，在（2）的條件下，若a=1，過點D作DE⊥y軸于點E，DF⊥x軸于點F，點M為線段DF上一點，若第一象限內存在點N（n，2n-3），使△EMN為等腰直角三角形，請直接寫出符合條件的N點坐標，并選取一種情況計算說明．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，設CD與y軸交于點E．根據四邊形內角和定理，只要證明∠BCD+∠BAD=180°即可解決問題．
（2）如圖1中，求出直線AB、BC的解析式，再求出直線AD、CD的解析式，利用方程組求交點D坐標．
（3）分四種情形，利用全等三角形的性質，列出方程分別求解即可．

解答 解：（1）如圖1中，設CD與y軸交于點E．

∵AD⊥AB，
∴∠BAD=90°，
∵∠1+∠BCO=90°，∠1=∠2，
∴∠BCO+∠2=90°，
∴∠BCD=90°，
∴∠BCD+∠BAD=180°，
∴∠ABC+∠D=360°-（∠BCD+∠BAD）=180°．

（2）如圖1中，
∵A（7a，-7a），B（0，-7a），
∴直線AB的解析式為y=x-7a，
∵AD⊥AB，
∴直線AD的解析式為y=-x+7a，
∵C（-3a，0），B（0，-7a），
∴直線BC的解析式為y=-$\frac{7}{3}$x-7a，
∵CD⊥BC，
∴直線CD的解析式為y=$\frac{3}{7}$x+$\frac{9}{7}$a，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{7}x+\frac{9}{7}a}\\{y=-x+7a}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4a}\\{y=3a}\end{array}\right.$，
∴點D的坐標為（4a，3a）．

（3）①如圖2中，作NG⊥OE于G，GN的延長線交DF于H．

∵△NEM是等腰直角三角形，
∴EN=MN，∠ENM=90°，
由△ENG≌△NMH，得EG=NH，
∵N（n，2n-3），D（4，3），
∴HN=EG=3-（2n-3）=6-2n
∵GH=4，
∴n+6-2n=4，
∴n=2，
∴N（2，1）．

②如圖3中，作NG⊥OE于G，MH⊥OE于H．

由△ENG≌△MEH，得GE=HM=4，
∴OG=7=2n-3，
∴n=5，
∴N（5，7）．
③如圖4中，作NG⊥OE于G，GN的延長線交DF于H．

由△ENG≌△NMH得EG=NH=4-n，
∴3+4-n=2n-3，
∴n=$\frac{10}{3}$，
∴N（$\frac{10}{3}$，$\frac{11}{3}$）．

④如圖5中，作MG⊥OE于G，NH⊥GM于H．

由△EMG≌△MNH得EG=MH=n-4，MG=NH=4
∴GH=n，
∴3-（n-4）+4=2n-3，
∴n=$\frac{14}{3}$，
∴N（$\frac{14}{3}$，$\frac{19}{3}$）．
綜上所述，滿足條件的點N的坐標為（2，1）或（5，7）或（$\frac{10}{3}$，$\frac{11}{3}$）或（$\frac{14}{3}$，$\frac{19}{3}$）．

點評 本題考查三角形綜合題、四邊形內角和定理、一次函數的性質、矩形的性質、全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識，學會構建一次函數，利用方程組解決交點問題，學會解題常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．