Question

18．一個二元碼是由0和1組成的數字串x₁x₂…x_n（n為正整數），其中x_k（k=1，2，…，n）稱為第k位碼元，如：二元碼01101的第1位碼元為0，第5位碼元為1．
（1）二元碼100100的第4位碼元為1；
（2）二元碼是通信中常用的碼，但在通信過程中有時會發生碼元錯誤（即碼元由0變為1，或者由1變為0）．已知某種二元碼x₁x₂…x₇的碼元滿足如下校驗方程組：$\left\{\begin{array}{l}{x_2}⊕{x_3}⊕{x_6}⊕{x_7}=1\\{x_4}⊕{x_5}⊕{x_6}⊕{x_7}=1\\{x_1}⊕{x_3}⊕{x_5}⊕{x_7}=1\end{array}\right.$
其中運算⊕定義為：0⊕0=0，1⊕1=0，0⊕1=1，1⊕0=1．
①計算：0⊕1⊕1⊕0=0；
②現已知一個這種二元碼在通信過程中僅在第k位發生碼元錯誤后變成了0101101，那么利用上述校驗方程組可判定k等于3．

Answer 1

分析 （1）在二元碼100100中，找出第4個數字即可；
（2）①根據“運算⊕定義為：0⊕0=0，1⊕1=0，0⊕1=1，1⊕0=1”，一步步計算即可得出結論；
②將二元碼0101101代入方程組，可得出錯誤出在x₂⊕x₃、x₁⊕x₃，結合僅有一個碼元錯誤即可得出k=3．

解答 解：（1）在二元碼100100中，第4個數字為1．
故答案為：1．
（2）①0⊕1⊕1⊕0=1⊕1⊕0=0⊕0=0．
故答案為：0．
②∵1⊕0⊕0⊕1=1⊕0⊕1=1⊕1=0，1⊕1⊕0⊕1=0⊕0⊕1=0⊕1=1，0⊕0⊕1⊕1=0⊕1⊕1=1⊕1=0，
∴校驗后可知4、5、6、7正確，錯誤出在x₂⊕x₃、x₁⊕x₃．
∵一個這種二元碼在通信過程中僅在第k位發生碼元錯誤，
∴k=3．
故答案為：3．

點評 本題考查了二元一次方程組的應用以及新定義，解題的關鍵是：（1）明白碼元的概念；（2）①熟讀題意，弄清運算⊕定義；②將錯誤的二元碼代入方程組找出錯誤出在x₂⊕x₃、x₁⊕x₃．